傅里叶变换

来自个人百度空间的文章---2011.2.28

一.离散傅里叶变换

    任何信号都可以表示成不同频率的正余弦叠加起来。。

    基本公式如下：

 ‍

    其中

   ‍

二.离散傅里叶变换在数字图像的中的应用

       图像的中的像素按矩阵存储，那么单个像素与其周围的其他的像素的差异叫做该点的频率，也叫做灰度梯度。所以图像也可以使用傅里叶变换。图像傅里叶变换时从图像的空间域中变换到图像的频率域中。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。图像的能量集中在低频部分。

三.快速傅里叶变换

   通过傅里叶变换的性质（对称性，周期性）。可以将傅里叶变换转换成蝶形运算方式，该方式极具实用价值大大提高傅里叶变换的运算效率

  其中的关键步骤:

   for(k=0;k<r;k++)//第几级

   {

    for(j=0;j<1<<k;j++)//一级有多少组

     {  bfsize=1<<(r-k);

        for(i=0;i<bfsize/2;i++)//一组对半计算

        {

             p=j*bfsize;

             X2[i+p]=X1[i+p]+X1[i+p+bfsize/2];

             X2[i+p+bfsize/2]=(X1[i+p]-X1[i+p+bfsize/2])*W[i*(1<<k)];

        }

     }

   }

//重新排序（码位倒序）

for(j=0;j<count;j++)

{

   p=0

   for(i=0;i<r;i++)

   {

       if(j&(1<<i))

       { p+=1<<(r-i-1) }

    }

    FD[j]=X1[p];

  }

   }

}

三、时域中做卷积等效于频域中的乘法。

 

四、傅里叶变换的作用

  1、图像的存储：进过傅里叶变换的图像会呈现出-正交归一的图形，这种图像具有很高的压缩比，且进过傅里叶变换后能无失真的还原图        像。当我们希望使用这种很紧凑的数据进行压缩编码时，会很好。

  2、图像的滤波：在傅里叶变换后可以进行滤波。（卷积）

  3、图像的增强：可以乘以传递函数。

  4、图像的复原：等同于图像的滤波。