躧搿螞 解题报告

给定k，a，n，d
定义

f(n)=∑i=1nik,g(n)=∑i=1nf(i)

求

∑i=0ng(a+i∗d) mod 1234567891

多组数据。
T≤3
1≤k≤123;0≤a,n,d≤123456789
时限：5s，空间限制：256MB

这个题当时考试的时候没时间做了，其实还是比较可做的。
看到这么一坨吃屎的式子，首先我们可以先试着求一求g(n)。

g(n)=∑i=1n(n−i+1)ik=(n+1)∑i=1nik−∑i=1nik+1

考虑∑xi=1ik这玩意儿显然可以用累加法递推求出来。

xk+1−(x−1)k+1=−∑j=1k+1(−1)jxk+1−j

(x−1)k+1−(x−2)k+1=−∑j=1k+1(−1)jxk+1−j

…

1k+1−0k+1=−∑j=1k+1(−1)j

将x个方程的左右两边相加，即可得到：

xk+1=−∑j=1k+1(−1)j∑i=1xik+1−j

,移项：

∑i=1xik=(k+1)−1(xk+1+∑j=2k+1(−1)j∑i=1xik+1−j)

这样的话，我们就可以递推出∑xi=1ik，注意到还需要用到逆元，所以求一个g的时间复杂度边是O(k2+klog2k)，当然这并没有什么卵用（其实这是60分），然后我们继续化式子。

ans=∑j=0n((a+j∗d+1)∑i=1a+j∗dik−∑i=1a+j∗dik+1)

注意到对于同一个形如∑xi=1ik的家伙，它其实等价于一个x的k+1次多项式，我们可以在O(k3+klog2k)的时间复杂度内搞出它的各项系数，所以我们不妨设其各项系数为{ak,k+1},便可将上式化简为

ans=∑i=1k+1ak,i∑j=0n((a+j∗d+1)(a+j∗d)i)−∑i=1k+2ak+1,i∑j=0n(a+j∗d)i

=∑i=1k+1ai(∑j=0n(a+j∗d)i+1+∑j=0n(a+j∗d)i)−∑i=1k+2ak+1,i∑j=0n(a+j∗d)i

系数我们已经可以求出来了，注意里面的式子，会发现它又是我们熟悉的形如（只是形如）∑xi=1ik的家伙，所以我们大可用同样的方法递推它，只是递推式变成了

∑i=0n(a+j∗d)k=((k+1)d)−1((a+n∗d)k−(a−d)k+∑j=2k+1(−d)j∑i=0n(a+i∗d)k+1−j)

但是，真正需要注意的地方是d=0的时候！这个式子是没有意义的，也就是说d=0时不能用这个式子来求，应该单独讨论这种蛋疼的情况。
这样的话，我们就可以在O(k2+klog2P)的时间复杂度内求出这货了，然后回带回去即可，不过我们注意到k的范围比较小，所以我们可以预处理1~k的逆元，这样理论时间复杂度就降到了O(k3+log2k+Tk2+Tlog2d)≈106，哪怕k开到300都可以在1s以内快速出解，不知道为什么出题人把时限开到了5s。
代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<iostream>using namespace std;#include<algorithm>#define Mod 1234567891typedef long long LL;LL pow(int a,int b){    LL ans=1,t=a;    for(;b;b>>=1,t=t*t%Mod)        if(b&1)            ans=ans*t%Mod;    return ans;}LL ni(int a){    return pow(a,Mod-2);}LL C[130][130];LL xishu[130][130];LL said[135];int main(){    freopen("sum.in","r",stdin);    freopen("sum.out","w",stdout);    int k,i,j,T;    for(i=0;i<130;++i)C[i][0]=1;    for(i=1;i<130;++i)        for(j=i;j;--j)            C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%Mod;    xishu[0][1]=1;    LL niyuan;    int fu;    for(k=1;k<130;++k){        fu=1;        for(j=2;j<=k+1;++j,fu=-fu)            for(i=k+1-j+1;i;--i)                xishu[k][i]=(xishu[k][i]+fu*xishu[k-j+1][i]*C[k+1][j])%Mod;        niyuan=ni(k+1);        xishu[k][k+1]=1;        for(j=k+1;j;--j)xishu[k][j]=(xishu[k][j]*niyuan%Mod+Mod)%Mod;    }    scanf("%d",&T);    LL a,n,d,start,end,fac;    LL ans;    int K;    while(T--){        scanf("%d%I64d%I64d%I64d",&K,&a,&n,&d);        //said        start=a,end=(a+n*d)%Mod;        said[0]=n;        for(k=1;k<=K+2;++k){            start=start*a%Mod,end=end*(a+n*d%Mod)%Mod;            fu=1;            said[k]=(end-start)%Mod;            fac=d*d%Mod;            for(j=2;j<=k+1;++j,fu=-fu,fac=fac*d%Mod)said[k]=(said[k]+fu*fac*C[k+1][j]%Mod*said[k+1-j])%Mod;            said[k]=said[k]*ni((k+1)*d%Mod)%Mod;        }        if(d){            start=a;            ++said[0];            for(k=1;k<=K+2;++k,start=start*a%Mod)said[k]=((said[k]+start)%Mod+Mod)%Mod;        }        else{            start=1;            for(k=0;k<=K+2;++k,start=start*a%Mod)said[k]=(n+1)*start%Mod;        }        //cal first        ans=0;        for(i=1;i<=K+2;++i)ans=(ans+xishu[K+1][i]*said[i])%Mod;        ans=Mod-ans;        //cal second        for(i=1;i<=K+1;++i)ans=(ans+xishu[K][i]*((said[i]+said[i+1])%Mod))%Mod;        printf("%I64d\n",ans);    }}

总结：
①考试时不要思考一道题超过半小时！
②做模的时候一定要仔细想加减乘除是否会爆，每一步都可能跪！
③一定要给自己出卡范围、卡上下界的特殊数据！