密码学基础知识（七）公钥密码

公钥密码体制：

            自从deffie和hellman发表了密码学的新方向后，公钥密码体制就以任我行吸星大法的速度广泛使用，其中有三个魔头：RSA，ElGamal和Menezs-Vanston。

            可是江湖上为什么在对称密码一统江湖的时候出现公钥密码呢？

不用想，就是小说里的情节，对称密码派面临巨大的困难：

1.    密钥分配，由于其密钥分发是通过秘密信道，而安全的秘密信道不好弄。

2.    密钥管理：密钥量太大，不是指密钥长度太长，而是和一个人通信就一个密钥，和n个人就n-1个密钥。

3.    数字签名：对称密码密钥相同，所以接收方可以伪造签名，理所当然发送方可以否认。

公钥密码体制基于：陷门单向函数，记得前面说过，陷门的意思是有个参数t，计算y=f(x)就容易了。没有t就显示单向性。

再说下公钥密码体制有意思的把：

            每个人一个公钥，一个私钥，公钥公开。

            首先，公钥密码的通信过程：

                                    一个消息，用B的公钥加密，密文传递过去，B私钥解密。

            然后是数字签名：

                                    一个消息，用A的私钥加密，密文传过去，B用A的公钥解密。

            那要是我两个一起用呢：即先A的私钥加密，然后再B的公钥加密，密文传过去，B就先A的公钥解密，再B的私钥解密，这种双重加密实现了机密性和（真实性）可认证性。

下面讲下三个魔头的故事：

首先讲RSA：

            RSA，基于大整数素分解问题。

1.    选两个保密的大素数p , q。

2.    公开n=p q,保密φ(n)。为啥公开n，φ(n)还能保密，很简单啊，因为数太大，素数求解很不容易。

3.    选取个e作为公开加密密钥，要求e和φ(n)最大公约数为1。

4.    核心：解密密钥d，d e=1 mod φ(n)。

加密： c=m^emod n;

解密： m=c^d modn；

看完这两个公式你就明白了为啥是基于大整数素分解问题了吧，解密得有n，被人不知道你p 和q是多少，n欧拉值就不能得出，那就求不了d。咱们求解可以简单点，不用欧几里得扩展算法，d e=t φ(n) +1 ，t从0开始试，d就很容易求。

 

RSA的安全性：

     基于大整数素分解，因式分解公认很难，是个NP问题，现在pq已经大到n长度位1024-2048位了，跟对称密码都不是一个量级的了。

除了p q 要大，我们一般还要其长度大致一样，n是1024的话，那两个就都512位左右；他俩差值也不能小，要不直接根号n啥都出来了；p q 应为起强素数，即：p-1 q-1 也有大的素因数，而且两者最大公约数也要小，1肯定最好了。

            RSA承受着 共模攻击和低指数攻击。

 

EIGamal:

            基于有限域乘法群上离散对数问题

DSS美国数字签名标准就是其变形

            随机选择一个大素数p，再随机个d， 计算β=α^d mod p .β是公开的加密密钥，d是保密的解密密钥。

            加密时随机选取一个整数k， c₁=α^k mod p；c₂=m β^k mod p；c=(c₁,c₂)。

            解密就是解密了：m=c₂(c₁^d)^-1mod p .

这个K就是搅屎棍，将一个明文可以对应出不同的密文，很好。

安全性：p至少768位，建议1024位，且是强素数，k也要是一次性的。

           

最后一个，椭圆曲线上的Menezs-Vanston：

            基于椭圆曲线上离散对数问题。且比上两个还难解。

(1) 设p > 3是一个素数，E是有限域Zp上的椭圆曲线。α∈E是椭圆曲线上的一个点，并且α的阶足够大，使得在由α生成的循环子群中的离散对数问题是难解的。

p和E以及α都公开。

(2)随机选取整数d，1≤d≤ord(α)－1，计算

β＝dα

β是公开的加密密钥，d是保密的解密密钥。

(3)明文空间为Zp*×Zp* ，密文空间为E×Zp*×Zp*。

(4)加密变换：对任意明文x＝(x1,x2)∈Zp*×Zp* ，秘密随机选取一个整数k，1≤k≤ord(α)－1 ，

密文为：      y＝(y₀, y1, y2)，

其中y0＝kα，(c1 , c2) ＝ kβ，

            y1＝c1 x1 modp，

            y2＝c2 x2 modp，

(5)解密变换：对任意密文y＝(y0, y1, y2)∈ E×Zp*×Zp*，明文为：

     x＝(y₁c₁-1mod p, y₂c₂-1 mod p) ，其中(c₁ , c₂)＝ d y₀ 。

160位的椭圆曲线就相当于RSA的1024位了。