【数据结构】实现平衡二叉树的各种算法(插入，删除，查找，输出)
来源：互联网 发布：考务管理系统软件java 编辑：程序博客网 时间：2024/04/29 05:41
前言
首先，博主写这篇文章出于一个目的，就是可以给真心想弄清平衡二叉树的同学一个引导，为什么这样说呢？首先，当今市面上关于数据结构的书讲的都是比较浅显，像平衡二叉树这个知识点一般就只讲了插入算法，极少书籍对平衡二叉树的删除算法进行讲解，所以对于很多朋友来说都很烦恼；其次，网上的资料关于平衡二叉树的算法讲解的也比较少（或者说是很多算法都是有错误的，至少我还没有找到一篇正确的关于平衡二叉树删除算法的代码）。那么，博主下面就给大家讲解平衡二叉树的各种算法，有什么错误也希望大家指出来。
一、定义
我们都知道，一棵二叉查找树要达到性能最优，树形应该是层数越少越好。最理想的二叉树是高度达到最小的二叉树，包括满二叉树和完全二叉树。这一类二叉树在插入或者删除之后维持高度最毒最小的代价较大，故可以使用一种折中方案，即平衡二叉树。
平衡二叉查找树（Balanced Binary Sort Tree，BBST）简称平衡二叉树。平衡二叉树有很多种，其中最著名的是由前苏联数学家Adelse-Velskil 和 Landis 在1962年提出的高度平衡的二叉树，根据科学家的英文名字首字母故平衡二叉树也可简称为AVL树。
平衡二叉树或者是棵空树，或者是具有下列性质的二叉查找树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1。故将二叉树结点的平衡因子（Balance Factor）定义为该结点的左子树的高度减去它的右子树的高度，则平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能为-1,0,1。只要二叉树上有一个结点的平衡因子的绝对值大于1，那么这棵平衡二叉树就失去了平衡。
二、存储结构
typedef int RcdType; typedef int Status; //Status就是int/*平衡二叉树结构体*/typedef struct BBSTNode{ RcdType data; //我自己定义RcdType就是int类型 int bf; //平衡因子 BBSTNode *lchild, *rchild; //左右孩子}BBSTNode,*BBSTree;</span>三、接口
(1)根据输入字符串创建一棵平衡二叉树
BBSTree MakeBBSTree();
(2)平衡二叉树插入元素操作
Status InsertAVL(BBSTree &T, RcdType e, Status &taller);
(3)平衡二叉树删除元素操作
Status DeleteAVL(BBSTree &t, RcdType e, Status &shorter);
(4)平衡二叉树查找元素操作
BBSTree SearchAVL(BBSTree T, RcdType e);
(5)求平衡二叉树的深度
int BBSTreeDepth(BBSTree T);
(6)交换所有结点的左右子树
void ExchangeSubTree(BBSTree &T)
(7)递归先序遍历
Status PreOrder_RecTraverse(BBSTree T)；
(8)递归中序遍历
Status InOrder_RecTraverse(BBSTree T);
(9)递归后序遍历
Status LastOrder_RecTraverse(BBSTree T);
(10)非递归先序遍历
void PreOrderTraverse_I(BBSTree T);
(11)非递归中序遍历
void InOrderTraverse_I(BBSTree T);
(12)非递归后序遍历
void LastOrderTraverse_I(BBSTree T);
(13)层次遍历输出二叉树
void LevelOrederTraverse_Print(BBSTree T);
(14)括号表示法输出二叉树
void BraNotationPrint(BBSTree T);
四、接口的实现及其算法
（1）根据输入字符串创建一棵平衡二叉树
实现功能：根据输入的数字序列创建生成一棵平衡二叉树。例如输入(1 2 3 4 5 6 7回车)，然后就会生成一个由1 2 3 4 5 6 7组成的平衡二叉树。主要思想是将 输入的序列用存放到一个动态数组（或者说是链表），通过GetInputToArray()函数来将输入的序列转换为数组，然后逐个读取数组中的元素，调用Status InsertAVL(BBSTree &T, RcdType e, Status &taller)函数逐个插入到T中。
初始条件：无
返回值：返回一棵平衡二叉树
调用函数： Array GetInputToArray()；/*获取输入存到数组a*/
Status InsertAVL(BBSTree &T, RcdType e, Status &taller)； /*平衡二叉树的插入操作*/
/*根据输入的字符串建一棵平衡二叉树*/BBSTree MakeBBSTree( ){ int i=0; Status taller = TRUE; BBSTree T = NULL; Array a; a = <strong>GetInputToArray();</strong> while(a!=NULL){ taller = TRUE; <strong>InsertAVL(T, a->data, taller);</strong> a = a->next; } return T;}<span style="font-size:12px;">/*获取输入存到数组a*/Array GetInputToArray(){ Array head, p, q; char k; head = p = q = NULL; int m; scanf("%d",&m); //输入数字，赋给m p = (ArrayNode*)malloc(sizeof(ArrayNode)); //动态申请内存 head = p; //头指针指向第一个元素 p->data = m; k = getchar(); //读取输入完数字的空格键或者是回车键 while(k!='\n'){ //当按回车键时，输入完成 scanf("%d",&m); q = (ArrayNode*)malloc(sizeof(ArrayNode)); q->data = m; p->next = q; p = p->next; k = getchar(); } if(p!=NULL){ p->next = NULL; //p->next置空，避免指向不相关内存地址 } return head; //返回存放数据的头指针 }</span> （2）平衡二叉树插入元素操作
实现功能：根据输入的数据插入到平衡二叉树T中，使之形成新的平衡二叉树。
思想：(1) 若是空树，则插入结点为根节点，树的高度增加1
(2) 若待插入结点和根节点相等，无需插入
(3) 若插入结点小于根节点，且在左子树上也不存在相等的结点，则在左子树上插入，且插入后的左子树高度增加1，则分情况处理：
1) 原根节点的平衡因子为-1(右子树高于左子树)，则其平衡因子改为0，树的高度不变；
2) 原根节点的平衡因子为0(左右子树高度相等)，则其平衡因子修改为1，树的高度增加1；
3) 原根节点的平衡因子为1(左子树高于右子树)：若左子树根节点的平衡因子为1，则属于LL型，需要进行右旋平衡调整，并在调整后将根节点及其右孩子的平衡因子更改为0，树的高度不变；若左子树根节点的平衡因子为-1，则属于LR型，需要进行先向左，后向右的双向旋转平衡调整，并在调整后修改根节点和其左右孩子的平衡因子，树的高度不变。
(4) 若插入结点大于根节点，且在右子树上不存在相等的结点，则在右子树插入，且当插入之后的右子树高度加1时，则分情况处理：
1) 原根结点的平衡因子是1(左子树高于右子树)，则其平衡因子修改为0，树的高度不变；
2) 原根节点的平衡因子为0(左右子树高度相等)，则其平衡因子修改为-1，树的高度增加1；
3) 原根节点的平衡因子为-1(右子树高于左子树)：若右子树根节点的平衡因子为1，则属于RR型，需要进行两次处理，第一次先进行右旋平衡调整，再左旋平衡调整，并且在旋转处理之后，修改根节点和其左右子树根节点的平衡因子，树的高度不变；若右子树根节点的平衡因子为-1，则属于RL型，需要进行一次左旋处理，并在左旋之后，更新根节点和其左右孩子的平衡因子，树的高度不变。
初始条件：平衡二叉树T，插入元素e，标志标量taller
返回值： 插入成功返回TRUE，失败返回FALSE
调用函数：void LeftBalance(BBSTree &T); /*左平衡操作*/
void RightBalance(BBSTree &T)； /*右平衡操作*/
/*平衡二叉树的插入操作*/Status InsertAVL(BBSTree &T, RcdType e, Status &taller){ //taller就是判断树的高度是否增加，是taller=TRUE，否taller=FALSE if(NULL==T){ T = (BBSTree)malloc(sizeof(BBSTNode)); T->data = e; T->bf = EH; T->lchild = NULL; T->rchild = NULL; }else if(e==T->data){ //书中已存在和e相等的结点 taller = FALSE; return FALSE; }else if(e<T->data){ //插入到左边 if(FALSE==InsertAVL(T->lchild, e, taller)) return FALSE; if(TRUE==taller){ switch(T->bf){ case LH: <strong>LeftBalance(T)</strong>; taller = FALSE; break; case EH: T->bf = LH; taller = TRUE; break; case RH: T->bf = EH; taller = FALSE; break; } } }else{ //插入到右边 if(FALSE==InsertAVL(T->rchild, e, taller)) return FALSE; if(TRUE==taller){ switch(T->bf){ case LH: T->bf = EH; taller = FALSE; break; case EH: T->bf = RH; taller = TRUE; break; case RH: <strong>RightBalance(T)</strong>; taller = FALSE; break; } } } return TRUE;}/*左平衡处理操作*/void LeftBalance(BBSTree &T){ BBSTree lc, rd; lc = T->lchild; switch(lc->bf){ case LH: T->bf = lc->bf = EH; R_Rotate(T); break; case RH: rd = lc->rchild; switch(rd->bf){ case LH: T->bf = RH; lc->bf = EH; break; case EH: T->bf = lc->bf = EH; break; case RH: T->bf = EH; lc->bf = LH; break; } rd->bf = EH; L_Rotate(T->lchild); R_Rotate(T); break; }}/*右平衡处理操作*/void RightBalance(BBSTree &T){ BBSTree rd,lc; rd=T->rchild; switch(rd->bf) { case RH: T->bf=rd->bf=EH; L_Rotate(T); break; case LH: lc=rd->lchild; switch(lc->bf){ case RH:T->bf=LH;rd->bf=EH;break; case EH:T->bf=rd->bf=EH;break; case LH:T->bf=EH;rd->bf=RH;break; } lc->bf=EH; R_Rotate(T->rchild); L_Rotate(T); break; } }（3）平衡二叉树删除元素操作
实现功能：根据输入的数据从平衡二叉树T删除，使之形成新的平衡二叉树。
思想：其实删除最主要是一下几点。
(1) 你需要知道的是，删除的分类。
第一类，被删结点是叶子结点，直接把它删除，但需要注意的是，删除之后对于该结点的双亲结点来说，它的高度是降低了。
第二类，被删结点具有一个孩子分支，这时也是直接把它删除，然后把它的孩子替代它，但对于双亲结点来说，它的高度也是降低了。
第三类，是最复杂的，被删结点的左右子树都不为空，这时，我们通常做法就是将这个结点的前驱结点的值替代这个结点，然后删除掉前驱结点。而每一个结点的前驱结点都是该结点左子树上最左的孩子(这点一定要理解，这对于任何结点来说都是成立的)。明白了这点，就可以把这类的删除问题转化为第一类或者是第二类，因为前驱结点已经没有左孩子了，所以它要不为叶子结点，要不为只有右孩子的结点。
(2) 删除完之后，你需要对失去平衡之后的树进行调整。
第一类，被删结点是双亲结点的左孩子，那么，我们删除之后就要判断删除前其双亲结点的平衡因子，无非有三种：EH(0),LH(1),RH(-1)。
a. 看EH类型，如图1，这时，我们删掉结点之后，只需调整双亲的平衡因子为RH(-1)，树的高度不变。
b. 看LH类型，如图2，这时，我们删除结点之后，只需调整双亲的平衡因子为EH( 0 )，树的高度变矮。
c. 看RH类型，这时又分为三种类型：
（i） 双亲结点的右孩子的bf为EH（0），如图3a，这时，我们删除之后，只需要对双亲结点进行左旋一次即可，然后，调整根节点的平衡因子为LH( 1 )，根节点的左孩子的平衡因子为RH（-1），树高不变，建议大家画图看看。
（ii）双亲结点的右孩子的bf为RH（-1），如图3b，这时，我们删除之后，同样只对双亲结点进行一次左旋操作，然后，调整根节点的平衡因子为EH（0），根节点的左右孩子的平衡因子因为EH（0），树变矮了。
（iii）双亲结点的右孩子的bf为LH（1），如图3c，这时，我们删除之后，只需要进行右平衡操作即可，树变矮了。
第二类，被删结点是双亲结点的右孩子，类似第一类，删除前其双亲结点的平衡因子也是有三种，下面就不画图了，大家可以参照第一类自己画图
a. 看EH类型，这时，我们删掉结点之后，只需调整双亲的平衡因子为LH（1），树的高度不变。
b. 看RH类型，这时，我们删除结点之后，只需调整双亲的平衡因子为EH( 0 )，树的高度变矮。
c. 看LH类型，这时又分为三种类型：
（i） 双亲结点的左孩子的bf为EH（0），这时，我们删除之后，只需要对双亲结点进行右旋一次即可，然后，调整根节点的平衡因子为RH( -1 )，根节点的右孩子的平衡因子为LH（1），树高不变，建议大家画图看看。
（ii）双亲结点的左孩子的bf为LH（1），这时，我们删除之后，同样只对双亲结点进行一次右旋操作，然后，调整根节点的平衡因子为EH（0），根节点的左右孩子的平衡因子因为EH（0），树变矮了。
（iii）双亲结点的左孩子的bf为RH（-1），这时，我们删除之后，只需要进行左平衡操作即可，树变矮了。
初始条件：平衡二叉树T，插入元素e，标志标量taller
返回值： 插入成功返回TRUE，失败返回FALSE
调用函数：void LeftBalance(BBSTree &T); /*左平衡操作*/
void RightBalance(BBSTree &T)； /*右平衡操作*/
void L_Rotate(BBSTree &p)； /*左旋调整*/
void R_Rotate(BBSTree &p)； /*右旋调整*/
/*平衡二叉树的删除操作*/ (注意到蓝色的两段代码是相同的)Status DeleteAVL(BBSTree &T, RcdType e, Status &shorter){ if(NULL==T) return FALSE; else if(e==T->data){ BBSTNode *q = NULL; if(T->lchild==NULL){ //当孩子左结点为空的时候 q = T; T = T->rchild; free(q); shorter = TRUE; }else if(T->rchild==NULL){ //当孩子的右结点为空的时候 q = T; T = T->lchild; free(q); shorter = TRUE; } else{ //当结点的左右孩子不为空的时候 q = T->lchild; while(q->rchild){ q = q->rchild; //找到前驱结点 } T->data = q->data; //用前驱结点的值代替要删除的结点的值 DeleteAVL(T->lchild, q->data, shorter); //删除前驱结点 <span style="color:#3333FF;">if(shorter==TRUE){ //进行删除后的平衡调整，因为寻找前驱结点都是向左找，所以此处的平衡调整代码跟左孩子的平衡调整代码是一样的 switch(T->bf){ case EH: T->bf = RH; shorter = FALSE; break; case LH: T->bf = EH; shorter = TRUE; break; case RH: BBSTree rchild = T->rchild; switch(rchild->bf){ case EH: L_Rotate(T); T->lchild->bf = RH; T->bf = LH; shorter = FALSE; break; case RH: L_Rotate(T); T->bf = EH; T->lchild->bf = EH; shorter = TRUE; break; case LH: RightBalance(T); shorter = TRUE; break; } break; } } }</span> }else if(e<T->data){ //在根节点的左边找 if(!DeleteAVL(T->lchild, e, shorter)){ return FALSE; //删除操作 } <span style="color:#3333FF;">if(shorter==TRUE){ //平衡操作 switch(T->bf){ case EH: T->bf = RH; shorter = FALSE; break; case LH: T->bf = EH; shorter = TRUE; break; case RH: BBSTree rchild = T->rchild; switch(rchild->bf){ case EH: L_Rotate(T); T->bf = LH; T->lchild->bf = RH; shorter = FALSE; break; case RH: L_Rotate(T); T->bf = EH; T->lchild->bf = EH; shorter = TRUE; break; case LH: RightBalance(T); shorter = TRUE; break; } break; } }</span> }else if(e>T->data){ //在根节点的右边找 if(!DeleteAVL(T->rchild, e, shorter)){ return FALSE; //删除操作 } if(shorter==TRUE){ //平衡操作 switch(T->bf){ case EH: T->bf = LH; shorter = FALSE; break; case RH: T->bf = EH; shorter = TRUE; break; case LH: BBSTree lchild = T->lchild; switch(lchild->bf){ case EH: R_Rotate(T); T->bf = RH; T->rchild->bf = LH; shorter = FALSE; break; case LH: R_Rotate(T); T->bf = EH; T->lchild->bf = EH; shorter = TRUE; break; case RH: LeftBalance(T); break; } break; break; } } } return TRUE;} /*左旋调整*/void L_Rotate(BBSTree &p){ BBSTree rc = p->rchild; p->rchild = rc->lchild; rc->lchild = p; p = rc;}/*右旋调整*/void R_Rotate(BBSTree &p){ BBSTree lc = p->lchild; p->lchild = lc->rchild; lc->rchild = p; p = lc;}- 【数据结构】实现平衡二叉树的各种算法(插入，删除，查找，输出)
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