最大公约数Greatest Common Divisor

Greatest Common Divisor

在数论和程序实现中都经常用到，很重要，也有很多方法

1. 穷举法

输入a, b（假设a>b）
依次测试b、b-1…，直到可同时被a和b整除

2. 更相减损法(九章算术)

该方法特点是只用减法，单次计算代价小，但迭代次数较多

int gcd(int& a, int& b){    while(a>0 && b>0)    {        if(a < b)            swap(a, b);          int tmp = a-b;        a = b;         b = tmp;     }    return a>0?a:b; }

3. 辗转相除法(欧几里得法)

该方法特点是迭代较快；但是单次计算取余，代价大

int gcd(int& a, int& b ){    if(a<b)        swap(a, b);    while(b)    {        int tmp = a%b;         a  = b;        b = tmp;    }    return a;}

4. Stein算法(奇偶法)

此种方法是将解法2和解法3结合起来，降低计算复杂度的同时也降低迭代次数。
i) 若 a, b均为偶数，

f(a, b)=2∗f(a/2, b/2)=2∗f(a>>1, b>>1)

ii) 若a为偶，而b为奇

f(a, b)=f(a/2, b)=f(a>>1, b)

iii) 若a为奇，b为偶

f(a, b)=f(a, b/2)=f(a, b>>1)

iv) 若a, b均为奇

f(a,b)=f(b,a−b)

在f(a, b) = f(a, a - b)之后，(a - b)是一个偶数，下一步一定会有除以2的操作。
因此最坏情况下时间复杂度为O(log2(max(a,b)))