显式预测控制(Explicit MPC)
来源:互联网 发布:淘宝营销系统架构 编辑:程序博客网 时间:2024/05/24 01:02
显式预测控制是 Bemporad 等人在2002年提出来的一种面向小规模控制命题的快速 MPC 算法。主要思想是通过参数规划的思想,将优化求解的在线计算放到离线进行,从而提高在线计算的速度。本文从理论上对这种算法进行介绍,并用例子进行一些说明,最后会提到该方法的一些局限和改进。
理论推导
下面我们结合 [BMDP02],[FBD08] 和 [PRW07] 三篇文章的内容简单介绍一下 Explicit MPC 的原理。这里我们考虑一个离散的,线性时不变的状态空间模型:
其中
然后 MPC 在没周期求解的 QP 命题为:
其中
通过将
这里这里的
上面优化命题的 KKT 条件为:
其中,上标星号的是最优值,下标
按照 Explicit MPC,或者说 mp-MPC 的理论,我们可以由上面的 KKT 条件得到以下的方程组:
假设上述方程组可解(
其中,
其中
因为上面的不等式都是关于当前时刻状态
仿真
考虑文章 [BMDP02] 中的一个单入单出的对象:
当时域长度
当时域长度
当时域长度
注意:
1 这里分区的形状和数目之所以与文章 [BMDP02] 中不同,是因为约束的选取有所区别,原文中没有对状态
2 这里分区的数目不是精确的,因为我没有按照原文的算法把每一个分区都计算出来,而是采用随机撒点的方法将撒到的点所在的分区画出来,因为都进行了上千次撒点,因此可以认为我们在这里确定了绝大部分的分区。
局限与改进
在上面的仿真中,我们可以看出来当时域长度增加时,分区数目的上升速度是很可观的,而且这还是最简单的单入单出两状态的对象。因为分区数目和不等式约束的个数有关,即对于
针对 Explicit MPC 的这一缺点,很多人也作了相应的研究。[GTM08] 通过对相同控制律的分区进行归并的方法给出了显示解的一个最小形式。在 [CZJM07] 中用来消除分区的方法是在能保证稳定性的前提下对相邻的分区进行合并。[TJB03] 提出一种方法是采用二叉搜索树来存储状态分区,并在此基础上来计算分段线性函数的值。在此基础上可以实现在
Ref.
[BMDP02] Bemporad, A., Morari, M., Dua, V., & Pistikopoulos, E. N. (2002). The explicit linear quadratic regulator for constrained systems. Automatica, 38(1), 3-20.
[FBD08] Ferreau, H. J., Bock, H. G., & Diehl, M. (2008). An online active set strategy to overcome the limitations of explicit MPC. International Journal of Robust and Nonlinear Control, 18(8), 816-830.
[PRW07] Pannocchia, G., Rawlings, J. B., & Wright, S. J. (2007). Fast, large-scale model predictive control by partial enumeration. Automatica, 43(5), 852-860.
[BF03] Bemporad A, Filippi C. Suboptimal explicit receding horizon control via approximate multiparametric quadratic programming[J]. Journal of optimization theory and applications, 2003, 117(1): 9-38.
[BJJ11] Bayat, F., Johansen, T. A., & Jalali, A. A. (2011). Using hash tables to manage the time-storage complexity in a point location problem: Application to explicit model predictive control. Automatica, 47(3), 571-577.
[CZJM07] Christophersen, F. J., Zeilinger, M. N., Jones, C. N., & Morari, M. (2007, December). Controller complexity reduction for piecewise affine systems through safe region elimination. In Decision and Control, 2007 46th IEEE Conference on (pp. 4773-4778). IEEE.
[GTM08] Geyer, T., Torrisi, F. D., & Morari, M. (2008). Optimal complexity reduction of polyhedral piecewise affine systems. Automatica, 44(7), 1728-1740.
[JG03] Johansen T A, Grancharova A. Approximate explicit constrained linear model predictive control via orthogonal search tree[J]. Automatic Control, IEEE Transactions on, 2003, 48(5): 810-815.
[TJB03] Tøndel, P., Johansen, T. A., & Bemporad, A. (2003). Evaluation of piecewise affine control via binary search tree. Automatica, 39(5), 945-950.
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