LightOJ 1070 - Algebraic Problem 矩阵快速幂

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1070 - Algebraic Problem

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Given the value of a+b and ab you will have to find the value of aⁿ+bⁿ. a and b not necessarily have to be real numbers.

Input

Input starts with an integer T (≤ 10000), denoting the number of test cases.

Each case contains three non-negative integers, p, q and n. Here p denotes the value of a+b and q denotes the value of ab. Each number in the input file fits in a signed 32-bit integer. There will be no such input so that you have to find the value of 0⁰.

Output

For each test case, print the case number and (aⁿ+bⁿ) modulo 2⁶⁴.

Sample Input

Output for Sample Input

2

10 16 2

7 12 3

Case 1: 68

Case 2: 91

 

题意：

给你p=a+b， q=ab

算出 (a^n+b^)mod2^64

做法:

mod 2^64所以开 unsigned long long ，llu 就行了，达到上限会自动取模的。

然后就是公式了。我是在推公式中找到的规律。

a^2+b^2=(a+b)*(a+b)-2*a*b

a^3+b^3=(a^2+b^2)*(a+b)-a*b(a+b)

a^4+b^4=(a^3+b^3)*(a+b)-a*b(a^2+b^2)

设G(n)=a^n+b^n

G(n)=G(n-1)*p-G(G-2)*q

然后就是快速幂了。.

#include<stdio.h>#include<string.h>#define Matr 5 //矩阵大小,注意能小就小   矩阵从1开始   所以Matr 要+1   最大可以100#define ll unsigned long longstruct mat//矩阵结构体，a表示内容，size大小 矩阵从1开始   但size不用加一{    ll a[Matr][Matr];    mat()//构造函数    {        memset(a,0,sizeof(a));    }};int Size=  2; mat multi(mat m1,mat m2)//两个相等矩阵的乘法，对于稀疏矩阵，有0处不用运算的优化 {    mat ans=mat();     for(int i=1;i<=Size;i++)        for(int j=1;j<=Size;j++)            if(m1.a[i][j])//稀疏矩阵优化                 for(int k=1;k<=Size;k++)                    ans.a[i][k]=(ans.a[i][k]+m1.a[i][j]*m2.a[j][k]); //i行k列第j项    return ans;}mat quickmulti(mat m,ll n)//二分快速幂 {    mat ans=mat();    int i;    for(i=1;i<=Size;i++)ans.a[i][i]=1;    while(n)    {        if(n&1)ans=multi(m,ans);//奇乘偶子乘 挺好记的.        m=multi(m,m);        n>>=1;    }    return ans;}void print(mat m)//输出矩阵信息，debug用   {      int i,j;      printf("%d\n",Size);      for(i=1;i<=Size;i++)      {          for(j=1;j<=Size;j++)printf("%llu ",m.a[i][j]);          printf("\n");      }  }  int main(){  /*ll a,b;while(scanf("%llu",&a)!=EOF)printf("%llu\n",-a+18446744073709551615+1);*/int t;int cas=1;scanf("%d",&t);while(t--){ll p,q,n;int p1,q1;scanf("%lld%lld%llu",&p,&q,&n);// p a+b q ab ll tem=18446744073709551615-q+1;mat gouzao=mat(),chu=mat();//构造矩阵  初始矩阵   chu.a[1][1]=p;chu.a[1][2]=p*p+2*tem;chu.a[1][3]=q;printf("Case %d: ",cas++);if(n==0)printf("2\n");else if(n==1)printf("%llu\n",p);else if(n==2)printf("%llu\n",p*p+2*tem);else{ gouzao.a[1][1]=0;gouzao.a[2][1]=1;gouzao.a[1][2]=tem;gouzao.a[2][2]=p;  //print(gouzao);printf("%llu\n",multi(chu,quickmulti(gouzao,n-2)).a[1][2]); } } return 0;}/*ans^=n -mat ans=mat();ans.size=Size;初始化ans矩阵ans=quickmulti(ans,n,mod);void print(mat m)//输出矩阵信息，debug用 {    int i,j;    printf(%dn,m.size);    for(i=1;i=m.size;i++)    {        for(j=1;j=m.size;j++)printf(%d ,m.a[i][j]);        printf(n);    }}*/