高级数据结构-树状数组总结

一维树状数组

1.更改单点，输出区间和
         一般用向上修改，向下统计， 也就是在updata函数里面使用+=，在 sum函数里面使用-=
         完整代码如下

void updata(int x, int num){    while (x <= n)   //树状数组的大小    {        bit[x] += num;        x += lowbit(x);    //lowbit返回2^k  函数内容为return x&-x;    }}

int sum(int x){    int sum = 0;    while (x > 0)    {        sum += bit[x];        x -= lowbit(x);    }    return sum;}

    例题如下 杭电 敌兵布阵
    题意就是对n个阵地中的某个，进行数目的加减操作，然后输出从a到b阵地的总人数。
    代码如下：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <stack>#include <queue>#include <cmath>#include <map>#include <string>#include <cstdlib>using namespace std;const int MAXN = 50000 + 10;int BIT[MAXN], t;int lowbit(int x){    return x&-x;}void updata(int x, int num){    while (x <= t)    {        BIT[x] += num;        x += lowbit(x);    }}int sum(int x){    int sum = 0;    while (x > 0)    {        sum += BIT[x];        x -= lowbit(x);    }    return sum;}int main(){    #ifdef LOCAL        freopen("in.txt", "r", stdin);        //freopen("out.txt", "w", stdout);    #endif // LOCAL    int T;    int num, a, b;    int Ncase = 1;    scanf("%d", &T);    while (T--)    {        memset(BIT, 0, sizeof(BIT));        scanf("%d", &t);        for (int i = 1; i <= t; ++i)        {            scanf("%d", &num);            updata(i, num);    //单点更新        }        printf("Case %d:\n", Ncase++);        char command[10];        while (scanf("%s", command) != EOF)        {            if (command[0] == 'E')                break;            scanf("%d%d", &a, &b);            if (command[0] == 'S')                updata(a, -b);    //单点更新            else if (command[0] == 'A')                updata(a, b);    //单点更新            else                printf("%d\n", sum(b) - sum(a-1));    //返回总和 因为sum(b) 返回从1到b的值，然后 sum(a-1)返回从1到a-1的值 相减就是a到b的值。        }    }    return 0;}

2.更改区间，输出单点 

    一般用向下修改，向上统计， 也就是在updata函数里面使用-=，在 sum函数里面使用+=
     完整代码如下

void updata(int x, int num){    while (x > 0)       {        bit[x] += num;        x -= lowbit(x);    //lowbit返回2^k  函数内容为return x&-x;    }}

int sum(int x){    int sum = 0;    while (x <= n)    //树状数组的大小    {        sum += bit[x];        x += lowbit(x);    }    return sum;}

    例题如下杭电 Color the ball
    题意 在一段连续的区间上 从a到b依次 涂色 也就是值+1 然后输出某个单点的值
    代码如下

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <stack>#include <queue>#include <cmath>#include <map>#include <string>#include <cstdlib>using namespace std;const int MAXN = 100000 + 10;int bit[MAXN], n;int lowbit(int x){    return x&-x;}void updata(int x, int num){    while (x > 0)    {        bit[x] += num;        x -= lowbit(x);    }}int sum(int x){    int sum = 0;    while (x <= n)    {        sum += bit[x];        x += lowbit(x);    }    return sum;}int main(){    #ifdef LOCAL        freopen("in.txt", "r", stdin);        //freopen("out.txt", "w", stdout);    #endif // LOCAL    int a, b;    while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0)    {        memset(bit, 0 ,sizeof(bit));        for (int i = 1; i <= n; ++i)        {            scanf("%d%d", &a, &b);            updata(b, 1);    //单点更新            updata(a - 1, -1);    //单点更新        }        printf("%d", sum(1));    //因为单点更新的时候取+1, -1 相互抵消，所以sum(1）就是单点的值        for (int i = 2; i <= n; ++i)            printf(" %d", sum(i));        printf("\n");    }    return 0;}

    一维树状数组更新和求和可以在数轴上进行模拟，用区间来表示。理解更快。

二维树状数组

    二维树状数组在操作是，是以二维的直角坐标系为基准，在更新时应该注意边界问题

    1.单点更新，输出区间

     在updata里面使用 += 在Query里面使用-=

    实例如下

   

void updata(int x, int y, int num){    int temp = x;    while (y <= n)    {        x = temp;        while (x <= n)        {            bit[x][y] += num;            x += lowbit(x);        }        y += lowbit(y);    }}

int Query(int x, int y){    int sum = 0;    int temp = x;    while (y > 0)    {        x = temp;    //指针一定要初始化        while (x > 0)        {            sum += bit[x][y];             x -= lowbit(x);        }        y -= lowbit(y);    }    return sum;}

    例题 POJ Mobile phones
   题意 在一个已知的二维空间，输入命令1  表示 在 所指示的点加上指定的 数  输入命令2 则输出所指向的二维区间的和
    用向上更新，向下求和

    代码如下
   
   

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <stack>#include <queue>#include <cmath>#include <map>#include <string>#include <list>#include <vector>#include <cstdlib>using namespace std;const int MAXN = 1250;int bit[MAXN][MAXN], n;int lowbit(int x){    return x&-x;}void updata(int x, int y, int num){    int temp = x;    while (y <= n)    {        x = temp;        while (x <= n)        {            bit[x][y] += num;            x += lowbit(x);        }        y += lowbit(y);    }}int Query(int x, int y){    int sum = 0;    int temp = x;    while (y > 0)    {        x = temp;        while (x > 0)        {            sum += bit[x][y];             x -= lowbit(x);        }        y -= lowbit(y);    }    return sum;}int main(){    #ifdef LOCAL        freopen("in.txt", "r", stdin);        //freopen("out.txt", "w", stdout);    #endif // LOCAL    int com;    int x, y, a, b;    while (scanf("%d", &com) != EOF && com != 3)    {        if (com == 0)        {             scanf("%d", &n);             memset(bit, 0, sizeof(bit));        }        else if (com == 1)        {            scanf("%d%d%d", &x, &y, &a);            updata(x + 1, y + 1, a);    //单点向上更新        }        else        {            scanf("%d%d%d%d", &x, &y, &a, &b);            x++; y++; a++; b++;            printf("%d\n", Query(a, b) - Query(a, y - 1) - Query(x - 1, b) + Query(x - 1, y - 1));   //向下求和   求和注意筛选区间以及边界问题        }    }    return 0;}

关于区间的筛选和边界  如图所示

2.区间更新，输出单点
    和一维的类似，在二维里面，仍然是用两个坐标之间的差值，代表所更新的区间，而坐标之间的差值，需要考虑，上图所示
   例子代码，就不写了，和一维类似，只是改变单点更新里面的大小。
    直接上例题：  POJ Matrix
   题意： 给定大小的矩阵中，C表示更新区段，Q表示，输入单点值  这里只有0和1 两种 所以采用累加 然后求和
    代码如下：
   

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <stack>#include <queue>#include <cmath>#include <map>#include <string>#include <cstdlib>using namespace std;const int MAXN = 1010;int bit[MAXN][MAXN], n;int lowbit(int x){    return x&-x;}void updata(int x, int y, int num){    int temp = x;    while (y <= n)    {        x = temp;        while (x <= n)        {            bit[x][y] += num;            x += lowbit(x);        }        y += lowbit(y);    }}int Query(int x, int y){    int sum = 0;    int temp = x;    while ( y > 0)    {        x = temp;        while( x > 0)        {            sum += bit[x][y];            x -= lowbit(x);        }        y -= lowbit(y);    }    return sum;}int main(){    #ifdef LOCAL        freopen("in.txt", "r", stdin);        //freopen("out.txt", "w", stdout);    #endif // LOCAL    int t, T;    int blank = 0;    int x1, x2, y1, y2;    scanf("%d", &T);    while (T--)    {        memset(bit, 0, sizeof(bit));        scanf("%d%d", &n, &t);        if (blank++ != 0)            printf("\n");        while (t--)        {            char command[3];            scanf("%s", command);            if (command[0] == 'C')            {                scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);                updata(x1, y1, 1);                updata(x2 + 1, y1, -1);                updata(x1, y2 + 1, -1);                updata(x2 + 1, y2 + 1, 1);     //更新时 区间的选用 参照上面的图片            }             else            {                scanf("%d%d", &x1, &y1);                printf("%d\n", Query(x1, y1) % 2);            }        }    }    return 0;} 

小结：  树状数组在应用时，关键在于，确定更新方式，以及更新区间