LCA 最近公共祖先 小结

LCA 最近公共祖先 小结
以poj 1330为例，对LCA的3种常用的算法进行介绍，分别为
1. 离线tarjan
2. 基于倍增法的LCA
3. 基于RMQ的LCA

1. 离线tarjan

/*poj 1330 Nearest Common Ancestors  题意：  给出一棵大小为n的树和一个询问(u,v), 问(u,v)的最近公共祖先。  限制：  2 <= n <= 10000  思路：  离线tarjan */#include<iostream>#include<cstdio>#include<vector>#include<cstring>using namespace std;#define PB push_backconst int N=10005;int fa[N];vector<int> tree[N],query[N];int anc[N];//ancestorbool vis[N];int get_fa(int x){if(x!=fa[x]) return fa[x]=get_fa(fa[x]);return x;}void merge(int x,int y){int fa_x=get_fa(x);int fa_y=get_fa(y);if(fa_x==fa_y) return ;fa[fa_y]=fa_x;}//就是把搜过的合并在一起void LCA(int rt){anc[rt]=rt;for(int i=0;i<tree[rt].size();++i){int ch=tree[rt][i];LCA(ch);merge(rt,ch);//cout<<rt<<' '<<ch<<' '<<get_fa(ch)<<endl;anc[get_fa(ch)]=rt;}vis[rt]=true;for(int i=0;i<query[rt].size();++i){if(vis[query[rt][i]]){cout<<anc[get_fa(query[rt][i])]<<endl;return ;}}}void init(int n){memset(vis,0,sizeof(vis));memset(anc,0,sizeof(anc));for(int i=0;i<=n;++i){fa[i]=i;tree[i].clear();query[i].clear();}}int indeg[N];void gao(int n){for(int i=1;i<=n;++i){if(indeg[i]==0){LCA(i);break;}}}int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n;scanf("%d",&n);init(n);int u,v;for(int i=0;i<n-1;++i){scanf("%d%d",&u,&v);tree[u].PB(v);++indeg[v];}scanf("%d%d",&u,&v);query[u].PB(v);query[v].PB(u);gao(n);}return 0;}

2. 基于倍增法的LCA

/*poj 1330 Nearest Common Ancestors  题意：  给出一棵大小为n的树和一个询问(u,v), 问(u,v)的最近公共祖先。  限制：  2 <= n <= 10000  思路：  基于倍增法的算法，  朴素的算法为：  如果节点w是u和v的公共祖先的话，首先让u，v中较深的一方向上走|depth(u)-depth(v)|步，然后再一步一步向上走，直到同一个节点  基于倍增法的优化：  对于每个节点预处理出2, 4, 8, ... 2^k步的祖先，然后搞。 */#include<iostream>#include<cstdio>#include<vector>#include<cstring>using namespace std;#define PB push_backconst int N=100005;const int LOGN=22;vector<int> tree[N];int fa[N][LOGN];int depth[N];void dfs(int u,int p,int d){depth[u]=d;fa[u][0]=p;for(int i=0;i<tree[u].size();++i){if(tree[u][i]!=p)dfs(tree[u][i],u,d+1);}}int LCA(int u,int v){if(depth[u]>depth[v]) swap(u,v);for(int i=0;i<LOGN;++i){if(((depth[v]-depth[u]) >> i) & 1)v=fa[v][i];}if(u==v) return u;for(int i=LOGN-1;i>=0;--i){if(fa[u][i]!=fa[v][i]){u=fa[u][i];v=fa[v][i];}}return fa[u][0];}int indeg[N];void predo(int n){int root;for(int i=1;i<=n;++i){if(!indeg[i]){root=i;break;}}dfs(root,-1,0);for(int j=0;j+1<LOGN;++j){for(int i=1;i<=n;++i){if(fa[i][j]<0) fa[i][j+1]=-1;else fa[i][j+1]=fa[fa[i][j]][j];}}}void init(int n){memset(indeg,0,sizeof(indeg));for(int i=0;i<=n;++i)tree[i].clear();}int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n;scanf("%d",&n);init(n);int u,v;for(int i=0;i<n-1;++i){scanf("%d%d",&u,&v);tree[u].PB(v);++indeg[v];}predo(n);scanf("%d%d",&u,&v);printf("%d\n",LCA(u,v));}return 0;}

3. 基于RMQ的LCA

/*poj 1330 Nearest Common Ancestors  题意：  给出一棵大小为n的树和一个询问(u,v), 问(u,v)的最近公共祖先。  限制：  2 <= n <= 10000  思路：  对于涉及有根树的问题，将树转化为从根dfs标号后得到的序列处理的技巧常常十分有效。对于LCA，这个技巧也十分有效。首先，按从根dfs访问的顺序得到顶点序列vs[i]和对应的深度depth[i]，对于每个顶点v，记其在vs中首次出现的下标为id[v]。  这些都可以dfs一遍搞定。而LCA(u,v)就是访问u之后到访问v之前所经过顶点中离根最近的那个，假设id[u] <= id[v]则有：  LCA(u,v) = vs[id[u] <= i <= id[v]中令depth(i)最小的i]  这个可以用rmq求得。 */#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>#include<vector>using namespace std;#define PB push_backconst int N=100005;int dp[N*2][18];void make_rmq_index(int n,int b[]){ //返回最小值对应的下标    for(int i=0;i<n;i++)        dp[i][0]=i;    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)        for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)            dp[i][j]=b[dp[i][j-1]] < b[dp[i+(1<<(j-1))][j-1]]? dp[i][j-1]:dp[i+(1<<(j-1))][j-1];}int rmq_index(int s,int v,int b[]){int k=(int)(log((v-s+1)*1.0)/log(2.0));return b[dp[s][k]]<b[dp[v-(1<<k)+1][k]]? dp[s][k]:dp[v-(1<<k)+1][k];}vector<int> tree[N];int vs[N*2]; //dfs访问的顺序int depth[N*2]; //节点的深度int id[N]; //各个顶点在vs中首次出现的下标void dfs(int u,int p,int d,int &k){id[u]=k;vs[k]=u;depth[k++]=d;for(int i=0;i<tree[u].size();++i){if(tree[u][i]!=p){dfs(tree[u][i],u,d+1,k);vs[k]=u;depth[k++]=d;}}}int indeg[N];void predo(int n){int root;for(int i=1;i<=n;++i){if(indeg[i]==0){root=i;break;}}int k=0;dfs(root,-1,0,k);/*for(int i=0;i<k;++i)cout<<i<<':'<<vs[i]<<' ';cout<<endl;for(int i=0;i<k;++i)cout<<i<<':'<<depth[i]<<' ';cout<<endl;for(int i=1;i<=n;++i)cout<<i<<':'<<id[i]<<' ';cout<<endl;*/make_rmq_index(n*2-1,depth);}int LCA(int u,int v){return vs[rmq_index(min(id[u],id[v]), max(id[u],id[v])+1, depth)];}void init(int n){memset(indeg,0,sizeof(indeg));for(int i=1;i<=n;++i)tree[i].clear();}int main(){int T;scanf("%d",&T);while(T--){int n;scanf("%d",&n);init(n);int u,v;for(int i=0;i<n-1;++i){scanf("%d%d",&u,&v);tree[u].PB(v);++indeg[v];}predo(n);scanf("%d%d",&u,&v);printf("%d\n",LCA(u,v));}return 0;}/*input:152 33 43 11 53 5output:0:2 1:3 2:4 3:3 4:1 5:5 6:1 7:3 8:20:0 1:1 2:2 3:1 4:2 5:3 6:2 7:1 8:01:4 2:0 3:1 4:2 5:53*/