一个无向连通网络，去掉一个边集可以使其变成两个连通分量则这个边集就是割集；最小割集当然就权和最小的割集。

可以用最小切割最大流定理：

1.min=MAXINT,确定一个源点

2.枚举汇点

3.计算最大流，并确定当前源汇的最小割集，若比min小更新min

4.转到2直到枚举完毕

5.min即为所求输出min

    不难看出复杂度很高：枚举汇点要O(n)，最短增广路最大流算法求最大流是O((n^2)m)复杂度，在复杂网络中O(m)=O(n^2)，算法总复杂度就是O(n^5)；哪怕采用最高标号预进流算法求最大流O((n^2)(m^0.5))，算法总复杂度也要O(n^4)

    所以用网络流算法求解最小割集复杂度不会低于O(n^4)。

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    prim算法不仅仅可以求最小生成树，也可以求“最大生成树”。最小割集Stoer-Wagner算法就是典型的应用实例。

    求解最小割集普遍采用Stoer-Wagner算法，不提供此算法证明和代码，只提供算法思路：

1.min=MAXINT，固定一个顶点P

2.从点P用“类似”prim的s算法扩展出“最大生成树”，记录最后扩展的顶点和最后扩展的边

3.计算最后扩展到的顶点的切割值（即与此顶点相连的所有边权和），若比min小更新min

4.合并最后扩展的那条边的两个端点为一个顶点（当然他们的边也要合并，这个好理解吧？）

5.转到2，合并N-1次后结束

6.min即为所求，输出min

prim本身复杂度是O(n^2)，合并n-1次，算法复杂度即为O(n^3)

如果在prim中加堆优化，复杂度会降为O((n^2)logn)

这个Stoer-Wagner算法可以参见这篇paper(http://docs.google.com/fileview?id=0BwxLvD9mcDNtMjk3MWVkMTAtZjMzNi00ZWE3LTkxYjQtYTQwNzcyZTk3Njk2&hl=en), 其核心思想是迭代缩小规模, 算法基于这样一个事实:

 

对于图中任意两点s和t, 它们要么属于最小割的两个不同集中, 要么属于同一个集.

 

如果是后者, 那么合并s和t后并不影响最小割. 基于这么个思想, 如果每次能求出图中某两点之间的最小割, 然后更新答案后合并它们再继续求最小割, 就得到最终答案了. 算法步骤如下:

 

1. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的所有点到A外一点p的权总和.

2. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增).

3. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=G(V), 则继续2.

4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut.

5. 新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边.

6. 若|V|!=1则继续1.

 

看起来很简单, 每次像做最大生成树一样选最大"边"(注意, 这里其实不是边, 而是已经累计的权值之和, 就当是加权的度好了), 然后把最后进入的两个点缩到一块就可以了. 合并点最多有n-1次, 而不加堆优化的prim是O(n^2)的, 所以最终复杂度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代码, 还可以在稀疏图上用Fibonacci Heap优化一下, 不过网上转了一圈, 大多都是说能用Fibonacci Heap优化到怎样怎样的复杂度, 真正能自己写出来的恐怕也没几个, 看看uoregon(俄勒冈大学)的一大坨代码就有点寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)

 

特别注意几个地方, 网上的好几个Stoer-Wagner版本都存在一些小错误:

 

1. 算法在做"最大生成树"时更新的不是普通意义上的最大边, 而是与之相连的边的权值和, 当所有边都是单位权值时就是累计度.

2. "最后进入A的两点记为s和t", 网上对s有两种解释, 一是在t之前一个加进去的点, 二是t的前趋节点, 也就是最后选择的那条边的另一端. 正解是第一种!

3. 对于稠密图, 比如这题, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的优先队列都会TLE, 还不如老老实实O(n^3).

#include <iostream> #include <cmath> using namespace std; int mat[600][600]; int res; //Stoer-Wagner算法，加了自己看得懂的备注 //无向图全局最小割，用求prim类似方法o（n^3)，学习了一个下午…… //一开始用枚举源点汇点的最大流求解，复杂度o(n^5) 超时 int min(int a,int b){    if(a<b) return a;    else return b;}void Mincut(int n) {    int node[600], dist[600];    bool visit[600];    int i, prev, j, k;    for (i = 0; i < n; i++)        node[i] = i;    while (n > 1)     {        int maxj = 1;        for (i = 1; i <n; i++) //初始化到已圈集合的割大小    {             
<span style="white-space:pre"></span>dist[node[i]] = mat[node[0]][node[i]];            if (dist[node[i]] > dist[node[maxj]])                maxj = i;        }        prev = 0;        memset(visit, false, sizeof (visit));        visit[node[0]] = true;        for (i = 1; i < n; i++)    {                        if (i == n - 1)//只剩最后一个没加入集合的点，更新最小割            {                                 res = min(res, dist[node[maxj]]);                                for (k = 0; k < n; k++) //合并最后一个点以及推出它的集合中的点                {                    mat[node[k]][node[prev]]=(mat[node[prev]][node[k]]+=mat[node[k]][node[maxj]]);                }                                node[maxj] = node[--n]; //缩点后的图                        }                        visit[node[maxj]] = true;                        prev = maxj;                        maxj = -1;                        for (j = 1; j < n; j++)            {                                if (!visit[node[j]]) //将上次求的maxj加入集合，合并与它相邻的边到割集                {                                       dist[node[j]] += mat[node[prev]][node[j]];                                      if (maxj == -1 || dist[node[maxj]] < dist[node[j]])                                      maxj = j;                                }            }        }    }    return;}int main() {    int n, m, a, b, v;    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)    {        res = (1 << 29);        memset(mat, 0, sizeof (mat));        while (m--)    {            scanf("%d%d%d", &a, &b, &v);            mat[a][b] += v;            mat[b][a] += v;        }        Mincut(n);        printf("%d\n", res);    }    return 0;}