最小二乘法-ALS

来源：互联网发布：好的图片下载软件编辑：程序博客网时间：2024/04/26 16:31

一. 最小二乘法

我们以最简单的一元线性模型来解释最小二乘法。什么是一元线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。对于二维空间线性是一条直线；对于三维空间线性是一个平面，对于多维空间线性是一个超平面...

对于一元线性回归模型, 假设从总体中获取了n组观察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。对于平面中的这n个点，可以使用无数条曲线来拟合。要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。选择最佳拟合曲线的标准可以确定为：使总的拟合误差（即总残差）达到最小。有以下三个标准可以选择：

（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。
（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。
（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性。这种方法对异常值非常敏感。

　最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary Least Square，OLS）：所选择的回归模型应该使所有观察值的残差平方和达到最小。（Q为残差平方和）- 即采用平方损失函数。

　样本回归模型：

其中e_i为样本（X_i,Y_i）的误差

平方损失函数：

则通过Q最小确定这条直线，即确定，以为变量，把它们看作是Q的函数，就变成了一个求极值的问题，可以通过求导数得到。求Q对两个待估参数的偏导数：

根据数学知识我们知道，函数的极值点为偏导为0的点。

解得：

这就是最小二乘法的解法，就是求得平方损失函数的极值点。

二. C++实现代码

 1 /* 2 最小二乘法C++实现 3 参数1为输入文件 4 输入 ： x 5 输出： 预测的y   6 */ 7 #include<iostream> 8 #include<fstream> 9 #include<vector>10 using namespace std;11 12 class LeastSquare{13     double a, b;14 public:15     LeastSquare(const vector<double>& x, const vector<double>& y)16     {17         double t1=0, t2=0, t3=0, t4=0;18         for(int i=0; i<x.size(); ++i)19         {20             t1 += x[i]*x[i];21             t2 += x[i];22             t3 += x[i]*y[i];23             t4 += y[i];24         }25         a = (t3*x.size() - t2*t4) / (t1*x.size() - t2*t2);  // 求得β1 26         b = (t1*t4 - t2*t3) / (t1*x.size() - t2*t2);        // 求得β227     }28 29     double getY(const double x) const30     {31         return a*x + b;32     }33 34     void print() const35     {36         cout<<"y = "<<a<<"x + "<<b<<"\n";37     }38 39 };40 41 int main(int argc, char *argv[])42 {43     if(argc != 2)44     {45         cout<<"Usage: DataFile.txt"<<endl;46         return -1;47     }48     else49     {50         vector<double> x;51         ifstream in(argv[1]);52         for(double d; in>>d; )53             x.push_back(d);54         int sz = x.size();55         vector<double> y(x.begin()+sz/2, x.end());56         x.resize(sz/2);57         LeastSquare ls(x, y);58         ls.print();59         60         cout<<"Input x:\n";61         double x0;62         while(cin>>x0)63         {64             cout<<"y = "<<ls.getY(x0)<<endl;65             cout<<"Input x:\n";66         }67     }68 }

三. 最小二乘法与梯度下降法

最小二乘法跟梯度下降法都是通过求导来求损失函数的最小值，那它们有什么区别呢。

相同

　　1.本质相同：两种方法都是在给定已知数据（independent & dependent variables）的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。
　　2.目标相同：都是在已知数据的框架内，使得估算值与实际值的总平方差尽量更小（事实上未必一定要使用平方），估算值与实际值的总平方差的公式为：

$\Delta =\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}{(f_{\beta }(\bar{x_{i}} )-y_{i})^{2} }$

其中 $\bar{x_{i} }$ 为第i组数据的independent variable， $y_{i}$ 为第i组数据的dependent variable， $\beta$ 为系数向量。

不同
　　1.实现方法和结果不同：最小二乘法是直接对 $\Delta$ 求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个 $\beta$ ，然后向 $\Delta$ 下降最快的方向调整 $\beta$ ，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。

参考： http://blog.csdn.net/qll125596718/article/details/8248249

原文网址：http://www.cnblogs.com/iamccme/archive/2013/05/15/3080737.html

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