The Gale-Shapley Algorithm 学习笔记

最近在认真专研匹配算法，同学给推荐了这个算法，感觉不错。不过，先前有很多大神已经写过这个算法的介绍了，我这当晚辈的，迟迟不敢动笔怕班门弄斧。但是呢？如果有前辈看我写得一塌糊涂看不下去了给我指点一点两点，那就是真的赚到啦！

首先看看德高望重的David Gale老教授。Gale老教授研究的领域主要有数理经济学、博弈论和凸分析。

他在数理经济学中的主要贡献有：1.the existence of competitive equilibrium（竞争均衡的存在性）;2.the solution of the n-dimensional Ramsey problem(n维拉姆齐定价，垄断厂商的定价) 3.the theory of linear programming and linear inequalities(线性模型和编程领域)

1962年的时候Gale和Lloyd Shapley撰写的关于 Stable Marriage Problem的论文是“the first formal statement and proof of a problem that has far-reaching implications in many matching markets”.原文链接如下：College admissions and the stability of marriage (with L.S. Shapley). American Mathematical Monthly 69 (1962), pp. 9–15 这个来自1962年的思想值得细细品味。

那么这个匹配是如何做到稳定的呢？

• 前提准备是什么？
  在n个男人和n个女人的一对一匹配中（默认一夫一妻&异性结合）。此时，将每个男人对n个女人的喜好程度从大到小排序（情人眼里出西施，你爱萝莉脸我爱魔鬼身材~这些我们都不管），同时也对每个女人对n个男人的喜爱程度从大到小排序。
• 算法如何开始呢？
  随便选择一个女人A，将她与她最喜爱的男人a进行配对，我们暂时不管这个男人对这个女人感不感冒。此时我们已经配对成功一对A-a
• 算法如何对匹配结果进行优化呢？
  接下去考虑女人B，如果她也最喜欢男人a，同时因为女人B长得比较漂亮所以男人a更喜欢女人B。唉，这时候虽然对不起女人A，但是由于出现了更好的匹配B-a，所以A-a匹配就失效了。
• 优化后呢？
  因为比较对不起A，所以这个时候我们继续为A努力，将女人A和女人A第二喜欢的男人b进行配对。
• 以此类推···最终实现最优的稳定的匹配。

根据wikipedia上的算法介绍，上述算法可以进行如下编程，由于我是统计专业，所以暂时用R语言进行编程：

X_M<-matrix(rep(0,100),10,10)  #站在男性视角的喜爱程度，X_M[i,j]代表第i个男生对第j个女生的喜欢程度a<-1:10for(i in 1:10){X_M[i,]<-sample(a,10) #喜欢程度随机生成，以1-10的数字表示，数字越高，喜欢程度越大}X_M1<-X_MX_F<-matrix(rep(0,100),10,10) #站在女性视角之上，原理同上for(i in 1:10){X_F[i,]<-sample(a,10)}X_FX_F1<-X_Fmatch<-rep(0,10) #站在男性视角之上的匹配结果，初始为0向量，match[i]=j 代表第i个男生与第j个女生配对成功while(length(which(match==0))!=0){waitboy<-min(which(match==0))i<-waitboymax<-which.max(X_M[i,])#第i个男生最喜欢的女生编号if(length(which(max==match))>0){  #呀，冲突了preboy<-which(match==max)#姑娘的前男友if(X_F[max,i]>X_F[max,preboy]){#如果姑娘的前男友被比下去了match[i]<-maxmatch[preboy]<-0}else{#如果姑娘的前男友胜利啦X_M[i,max]<-0}}else{match[i]<-max}}#总体匹配效果为：fit1<-0fit2<-0for(i in 1:10){fit1<-fit1+X_M1[i,match[i]]fit2<-fit2+X_F1[match[i],i]}

结果展示：

<pre name="code" class="html"> X_M      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,]    8   10    1    5    6    3    4    7    9     2 [2,]    4   10    1    8    3    7    2    5    6     9 [3,]    8    3    1    9    5    2   10    6    4     7 [4,]    7    2    8    1    4    5    9    3    6    10 [5,]    3    9    2   10    6    4    5    7    1     8 [6,]    4    1    3    8    7    5   10    9    2     6 [7,]    4    3   10    2    5    1    7    8    6     9 [8,]    6    8    5    4    7    1    9    2   10     3 [9,]    2    6    9    8    7    5    4    1    3    10[10,]   10    2    5    8    6    1    3    4    7     9>  X_F      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [1,]   10    7    5    2    6    1    3    4    8     9 [2,]    2    6    4    7    5    1    3   10    8     9 [3,]    5    6    4    1    7    9   10    3    8     2 [4,]    3    9    4    1    2    7    5    6   10     8 [5,]   10    7    9    1    5    6    4    8    3     2 [6,]    8    5    2   10    9    6    4    3    1     7 [7,]    7    3   10    2    6    4    5    8    9     1 [8,]    7    2    5    3    1    9   10    4    6     8 [9,]    9   10    4    1    2    6    3    5    7     8[10,]    6    5    8    7   10    3    1    9    4     2> match [1]  1  9  7  6 10  8  3  2  4  5> fit1[1] 94> fit2[1] 63

思考：

1.这个默认的喜好排序能通过引入机器学习来自动进行呢？

2.好吧，如果是机器学习就用不到这个算法了

3.先站在男性视角考虑的结果是，男性的满意度比女性高很多（fit1>fit2）,估计我只学到算法皮毛