红黑树

定义：
（1）二叉搜索树；
（2）每个节点都有颜色，不是红色就是黑色，NULL节点视为黑色；
（3）根节点是黑色；
（4）不能有两个连续的红色节点；
（5）任意节点延伸到其子叶节点的路径上的黑色节点个数必须相同。
诞生原因：随机插入、删除等操作时二叉搜索树的平衡性会变得比较差（最坏的情况例如所有节点只有右子节点），希望（1）改善平衡性；（2）寻求好的调整方法降低这种改善所付出的代价。

注意：红黑树的定义改善了平衡性，而红黑树的插入、删除等操作的原则是经过一系列操作之后满足红黑树的定义，并且使得付出的代价最小，也就是使得操作的步骤最少。

红黑树的插入操作

个人理解，关键的原则就是：单次插入，(1)调整平衡时的操作步骤最少，影响区域最小(2)把节点颜色和数值大小分开考虑
为方便表示，把插入位置的父节点称为P，P的父节点称为G，P的兄弟节点称为S，把插入位置的节点称为X。
情况一：插入位置的父节点为黑色

插入后把颜色设置为红色。假设设置为黑色，那么就不满足红黑树定义的（5），于是需要调整树结构，不符合我总结的原则。
情况二：插入位置的父节点为红色

设置为黑违反（5）；但是我们发现无论插入红色还是黑色，对于其父节点来说，仍然满足红黑树定义，于是我们需要往上找，找出最近一个不满足红黑树定义的点，并且希望作出调整操作以后，影响不会再往上延伸，也就是希望影响区域最小。

此时爷爷节点必定为黑色，于是需要考虑的情况就是父节点的兄弟节点。
（1）S为黑色
我们希望调整平衡时的操作步骤最少，影响区域最小，于是G节点仍然要设置成黑色（不管这个节点数值还是不是和原来一样，注意原则二），如果G节点设置为红色，那么G节点的父节点如果为红色，影响区域就扩大了，注意原则一。那么我们是否可以做到在G节点为黑的情况下，经过一系列调整，满足红黑树的定义呢？确实可以。（这里以P为G的左子节点为例）

（2）S为红色
G节点在调整之后是否还可以是黑色呢？如果G为黑色，为了满足红黑树的定义（5），S和P都不能调整为黑色，那么导致X一旦插入，无论是黑色还是红色，都不能满足定义。因此G要调整为红色，G一旦为红色，G的父节点如果为黑色，那么调整结束；否则，影响继续往上延伸；为了不使影响这样延伸，侯捷的《STL源码分析》中指出，当遇到一个层上两个节点都为红色时，把这两个节点的颜色设置为黑色 ，把他们的父节点颜色设置为红色，如果是根节点的两个子节点为红色，则把两子节点设置为黑色，而根节点颜色依然是黑色。试想如果这件事情只在插入位置的上两层这么调整颜色，显然会使影响扩大到更上面的层，于是，从根节点开始，在插入的路径上发现这样的情况就直接作出调整，即从上往下调整。经过这样调整，S和P都为红色的情况就不复存在。

总结：我们发现，插入时，最终要调整的情况就是P为红色，S为黑色，并且从图中得知（该例中P为G的左子节点，S为G的右子节点），无论X是插入到P的左子节点还是右子节点，调整后这四个位置（注意指的是位置）：X，P，S，G的颜色是确定的。原因就是在两个黑色节点中“加入”一个红色节点，依然满足红黑树的定义；另外再考虑这四个位置上元素的值：请让我们这样去思考，二叉树的形式相当于有序排列（横向）加入了高低的属性（竖直）。

从上图这个例子，结合前面的红黑树调整示意图，在P为G的左子节点，S为右子节点的前提下，我们可以清晰地看到 数值2对应的节点最终成为了G节点，这里就好似1-2-3-4是相连的，然后我把2提起来，并把“-”换成“->”，这个也就是我前面所说的在两个黑色节点中插入一个红色节点。