红黑树

一  红黑树的定义

算法导论里是这样定义一棵红黑树的：

      1、每个结点或是红色的，或是黑色的
      2、根节点是黑色的
      3、每个叶结点（NIL）是黑色的
      4、如果一个节点是红色的，则它的两个儿子都是黑色的。
      5、对于每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑色结点。

    话说这些性质里面，前四个都很容易理解，但惟独第五个，我是怎么读怎么觉得拗口，原因就是对这个“子孙节点”感到疑惑，这个子孙节点是啥子玩意儿呢?所有的子、孙节点？？？ 如果当前节点是根节点，那么根据定义：子孙节点有相同的黑色节点数，那不是搞笑吗？怎么可能得到呢。后来我看了一下英文版的，发现是这个：descendant leaves，貌似理解为子孙节点也不错哈，但我查了《Introduction to Algorithms》全书，也就这么一处用了descendant leaves，其他地方都是leaves，很显然这里的descendant leaves应该是特指，不应该就泛泛的翻译为子孙节点，而应该是子孙叶节点才对，也就是树最边上的节点啦。这样理解起来也自然，也不会有歧义。然后对照红黑树的图（下图一）一比较，果然是这样。也不晓得是不是自己的语文差了，反正这里顺便鄙视下《算法导论》的翻译吧。也就是说从根节点（如下图 13根节点）到其所有的nil黑节点路径里的黑节点数就是一样的。

图一

    好吧，红黑树的性质就理解到这里。也许大家看书的话就会继续往下看了，当然我也是这样的。但是当我读第二遍的时候，我就想为什么这简简单单的5条性质就能让红黑树有如此好的性质。AVL树我还可以理解，毕竟有看得见摸得着的定义和balance代码，但红黑树我就不理解了，因为他的定义是如此的简单，也不可能看到定义就能想象它是如何调整树结构达到动态balance的，搞得我很恼火。我曾经试图搜索下 红黑树本质，但发现没有这方面的信息。o(╯□╰)o，我也只好自己思考下了。

二  引理

    估计有很多人对书上13.1 引理不是很在意，但是我想说，这正是理解红黑树精髓的地方之一。 这条引理也是红黑树为什么效率这么高的原因。不晓得是语文差还是啥的，我看书上的介绍也没看懂，写得太简洁了，菜鸟看不懂表示很蛋疼。后来在网上看了别人的资料，终于弄懂了。(⊙o⊙)…

 

下面我就仔仔细细的介绍下这条引理到底是怎么得到的。

引理：一棵有n个内结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)。

    这个引理怎么证明呢，这里需要一个工具  对以x为根的子树，它所包含的内部结点数至少为2^{^[bh(x)]}-1。这里bh(x)（bh嘛，black height）被定义为结点x的黑高度，就是说，从结点x（不包括它本身）到它任一个叶结点的路径上所有黑色结点的个数。 

下面用归纳法证明：

    1)若x高度为0，那么它就是一叶子结点，它确实至少包含2^⁰-1=0个内部结点

    2)假设x为红黑树的某一内部结点，且它高度h>0，那么它的黑高度就是bh(x)，但是它的两个孩子结点呢？这个就根据它们的颜色来判断了：

       如果x有一个红色的孩子y，那么y的黑高度bh(y)=bh(x)，看看上面对黑高度的定义你就明白了——既然它是红色的，那么它的黑高度就应该和它父亲的黑高度是一样的；

       如果x有一个黑色的孩子z，那么z的黑高度bh(z)=bh(x)-1，这个怎么解释呢，因为它自己就是个黑结点，那么在计算它的黑高度时，必须把它自己排除在外（还是根据定义），所以它是bh(x)-1。

    3)x的孩子结点所构成的子树的高度肯定小于x这颗子树，那么对于这两个孩子，不管它们颜色如何，一定满足归纳假设的是至少hb 高度为bh(x)-1。所以，对x来说，它所包含的内部结点个数“至少”为两个孩子结点所包含的内部结点数，再加上它自己，于是就为2^^[bh(x)-1]-1+2^^[bh(x)-1]-1+1=2^^[bh(x)]-1，归纳证明完毕。

也就是说n>=2^^[bh(x)]-1---------①

     把一 中红黑树性质中 4）、5）两个特性结合起来，其实我们可以得到黑节点至少是红节点的2倍。用一句话来说就是“有红必有黑，但有黑未必一定有红”。为什么这么说呢，因为从特性4）我们知道，如果有一个红结点存在，那么它的儿子结点一定是黑的，最极端的情况下，该路径上所有的结点就被红、黑两种结点给平分了那就是黑节点至少是红节点的2倍。不知这个问题我解释清楚没有，因为这是往下理解的关键。

 

    如果一棵红黑树的高为h，那么在这个高度上（不包括根结点本身）至少有1/2h的黑结点，再结合上面对“黑高度”的定义，我们说，红黑树根结点的黑高度至少是1/2h，好了，我们拿出公式①，设n为该红黑树所包含的内部结点数，我们得出如下结论： n>=2^(1/2h)-1。 我们把它整理整理，就得到了h<=2lg(n+1)，就是我们要证明的结论：红黑树的高度最多也就是2lg(n+1)。(⊙o⊙)

其实关于红黑树，STL源码剖析---红黑树原理详解 已经写得非常好了。但套用新警察故事里的谢霆锋说的一句话：自己查，印象深一点。这里也是一样，在自己写，印象深一点。如果你要看正宗的STL源码剖析---红黑树原理详解，那请你点击这个。这里的是D版的o(╯□╰)o  当然，我也会加一些我自己的理解，因为大神写文章都比较精简，而我这是写给我自己看的，有一点口水话加深点印象。

三 红黑树的插入

红黑树的节点插入默认是节点为红色的。我自己理解是，其实插入红还是黑都可以，但就要看后面的调整是否麻烦。

插入黑点，会增加路径上黑点的数目，一定会破坏性质5
插入红点：

当其父节点为黑色时，不影响平衡，继续保持红黑性质
当其父节点为红色时，可能破坏性质2（根节点是黑色的）、性质4（红色节点的子节点一定是黑色节点），需要进行修正。

因为第一篇文章已经说了，黑节点至少是红节点的两倍，这说明插入红节点OK的概率高很多（因为父节点为黑，插入子节点为红色就不会和性质冲突），这样插入就省事多了，嘿嘿，这也是红黑树为什么战胜AVL树的原因之一，插入效率高啊，节点贴上去就ok了，都不用什么左转右转调整了，多省事啊；再说，如果插入子节点为黑色，o(╯□╰)o了，黑高度变化了，得调整，如果每次都插入黑节点，都得调整，没事闲的蛋疼啊。。。

红黑树插入分一下几种情况：

1、黑父

   如下图所示，如果新节点的父结点为黑色结点，那么插入一个红点将不会影响红黑树的平衡，此时插入操作完成。红黑树比AVL树优秀的地方之一在于黑父的情况比较常见，从而使红黑树需要旋转的几率相对AVL树来说会少一些。（大神和我的理解差不多，不过别人的精简很多，我的就是口水话。）

2、红父
     如果新节点的父结点为红色，这时就需要进行一系列操作以保证整棵树红黑性质。如下图所示，由于父结点为红色，此时可以判定，祖父结点必定为黑色。这时需要根据叔父结点的颜色来决定做什么样的操作。青色结点表示颜色未知。由于有可能需要根结点到新点的路径上进行多次旋转操作，而每次进行不平衡判断的起始点（我们可将其视为新点）都不一样。所以我们在此使用一个蓝色箭头指向这个起始点，并称之为判定点。

图一

2.1 红叔
当叔父结点为红色时，如下图所示，无需进行旋转操作，只要将父和叔结点变为黑色，将祖父结点变为红色即可。但由于祖父结点的父结点有可能为红色，从而违反红黑树性质。此时必须将祖父结点作为新的判定点继续向上（迭代）进行平衡操作。（注意这里是需要迭代的，有可能会调整到根节点）

图二

需要注意的是，无论“父节点”在“叔节点”的左边还是右边，无论“新节点”是“父节点”的左孩子还是右孩子，它们的操作都是完全一样的（其实这种情况包括4种，只需调整颜色，不需要旋转树形）。

2.2 黑叔
当叔父结点为黑色时，需要进行旋转，以下图示了所有的旋转可能：（case1 和caes 2 都是把左边较大的节点调整到上面去）

Case 1:

图三

Case 2:

图四

其实这里case 2的图示进行了简化，就是case 2 需要L变换成case 1 的情形如图五，然后再进行R旋转，得到最后的结果。当然，下面的也一样

图五（图中省略了哨兵结点）

Case 3:

Case 4:

      可以观察到，当旋转完成后，新的旋转根全部为黑色，此时不需要再向上回溯进行平衡操作，插入操作完成。需要注意，上面四张图的“叔”、“1”、“2”、“3”结点有可能为黑哨兵结点。

四 红黑树的插入

从红黑树上删除一个节点，可以先用普通二叉搜索树的方法，将节点从红黑树上删除掉，然后再将被破坏的红黑性质进行恢复。

      我们回忆一下普通二叉树的节点删除方法：Z指向需要删除的节点，Y指向实质结构上被删除的结点，如果Z节点只有一个子节点或没有子节点，那么Y就是指向Z指向的节点。如果Z节点有两个子节点，那么Y指向Z节点的后继节点（其实前趋也是一样的），而Z的后继节点绝对不可能有左子树。因此，仅从结构来看，二叉树上实质被删除的节点最多只可能有一个子树。
现在我们来看红黑性质的恢复过程：
      ①如果Y指向的节点是个红色节点，那么直接删除掉Y以后，红黑性质不会被破坏。操作结束。
      ②如果Y指向的节点是个黑色节点，那么就有几条红黑性质可能受到破坏了。首先是包含Y节点的所有路径，黑高度都减少了一（第５条被破坏）。其次，如果Y的有红色子节点，Y又有红色的父节点，那么Y被删除后，就出现了两个相邻的红色节点（第４条被破坏）。最后，如果Y指向的是根节点，而Y的子节点又是红色的，那么Y被删除后，根节点就变成红色的了（第２条被破坏）。
      其中，第５条被破坏是让我们比较难受的。因为这影响到了全局。这样动作就太大太复杂了。而且在这个条件下，进行其它红黑性质的恢复也很困难。所以我们首先解决这个问题：如果不改变含Y路径的黑高度，那么树的其它部分的黑高度就必须做出相应的变化来适应它。所以，我们想办法恢复原来含Y节点的路径的黑高度。做法就是：无条件的把Y节点的黑色，推到它的子节点X上去。（X可能是NIL节点）。这样，X就可能具有双重黑色，或同时具有红黑两色，也就是第１条性质被破坏了。（这个很重要）

      但第１条性质是比较容易恢复的：

一、如果X是同时具有红黑两色，那么好办，直接把X涂成黑色，就行了。而且这样把所有问题都解决了。因为将X变为黑色，２、４两条如果有问题的话也会得到恢复，算法结束。

二、如果X是双黑色，那么我们希望把这种情况向上推一直推到根节点（调整树结构和颜色，X的指向新的双黑色节点，X不断向上移动），让根节点具双黑色，这时，直接把X的一层黑色去掉就行了（因为根节点被包含在所有的路径上，所以这样做所有路径同时黑高减少一，不会破坏红黑特征）。（双黑调节就是按照这种思路：无限把双黑节点上推，直到出现第四种情况）

      下面就具体地分析如何恢复1、２、４三个可能被破坏的红黑特性：我们知道，如果X指向的节点是有红黑两色，或是X是根节点时，只需要简单的对X进行一些改变就行了。要对除X节点外的其它节点进行操作时，必定是这样的情况：X节点是双层黑色，且X有父节点P。由知可知，X必然有兄弟节点W，而且这个W节点必定有两个子节点。（因为这是原树满足红黑条件要求而自然具备的。X为双黑色，那么P的另一个子节点以下一定要有至少两层的节点，否则黑色高度不可能和X路径一致。也就是说至少两层黑。其实可以说，这就是一个递归函数的递归公式，只不过情况较多而已。可以参看july的最长子字符串序列，和这种情况类似）。所以我们就分析这些节点之间如何变形，把问题限制在比较小的范围内解决。另一个前提是：X在一开始，肯定是树底的叶节点或是NIL节点，所以在递归向上的过程中，每一步都保证下一步进行时，至少 X的子树是满足红黑特性的。因此子树的情况就可以认为是已经正确的了，这样，分析就只限制在X节点，X的父节点P和X的兄弟节点W，以及W的两个子节点。这些个节点中。
      下面仅仅考虑X原本是黑色的情况即可。
      在这种情况下，X此时应该具有双重黑色，算法的过程就是将这多出的一重黑色向上移动，直到遇到红节点或者根节点。
      接着往下分析， 会遇到4种情况，实际上是8种， 因为其中4种是相互对称的，这可以通过判断X是其父节点的右孩子还是左孩子来区分。下面我们以X是其父节点的左孩子的情况来分析这4种情况，实际上接下来的调整过程，就是要想方设法将经过X的所有路径上的黑色节点个数增加1。
      具体分为以下四种情况：（下面针对x是左儿子的情况讨论，右儿子对称）
      Case1：X的兄弟W是红色（想办法将其变为黑色）
       由于W是红色的，因此其儿子节点和父节点必为黑色，只要将W和其父节点的颜色对换，在对父节点进行一次左旋转，便将W的左子节点放到了X的兄弟节点上，X的兄弟节点变成了黑色，且红黑性质不变。但还不算完，只是暂时将情况1转变成了下面的情况2或3或4。（本来x 为双黑，只要把A再涂成双黑就完事了，和我们之前说过的要把双黑往上推一样，但那样对问题根本没一点影响，还不如不做。其实旋转是可以想象到的，左边x的删除了一个黑节点，那必然导致右边重了，要左旋转）

图一

    Case2：X的兄弟节点W是黑色的，而且W的两个子节点都是黑色的。此时可以将X的一重黑色和W的黑色同时去掉，而转加给他们的父节点上，这是X就指向它的父节点了，因此此时父节点具有双重颜色了。这一重黑色节点上移。（因为A下面是平衡的，所以不用改动，但x要把一层黑给顶上去，那w这边就相当于多了一层黑，所以把w的黑给去掉，成为红色。至于A怎么办，那要看A本身的颜色是什么了。如下:）

图二

      如果父节点原来是红色的，现在又加一层黑色，那么X现在指向的这个节点就是红黑两色的，直接把X（也就是父节点）着为黑色。问题就已经完整解决了。
     如果父节点现在是双层黑色，那就以父节点为新的X进行向上的下一次的递归。
    Case3：X的兄弟节点W是黑色的，而且W的左子节点是红色的，右子节点是黑色的。此时通过交换W和其左子节点的颜色并进行一次向右旋转就可转换成下面的第四种情况。注意，原来L是红色的，所以L的子节点一定是黑色的，所以旋转中L节点的一个子树挂到之后着为红色的W节点上不会破坏红黑性质。变形后黑色高度不变。(L旋转后，左子树的性质是不会变的，但右子树多了个黑的w 就有问题了，所以要把w改为红色。其实case3是把问题转换为case4.)

图三

    Case4：X的兄弟节点W是黑色的，而且W的右子节点是红色的。这种情况下，做一次左旋，W就处于根的位置，将W保持为原来的根的位置的颜色，同时将W的两个新的儿子节点的颜色变为黑色，去掉X的一重黑色。这样整个问题也就得到了解决。递归结束。（在代码上，为了标识递归结束，我们把X指向根节点） （其实是相当于 x这边多了一层黑，怎么办呢，就把A点给按下去，这样x两层黑就变为 x本身黑+A的黑。A是下去了，那自然要把w给提上来，w提上来之后L就变到左边去了。L子树保持不变，原因很简单，都是两层黑+L本身。但w提上来了，可这边少了一层黑啊，所以直接把R变为黑，ok 问题解决了。）

图四

      因此，只要按上面四种情况一直递归处理下去，X最终总会指向根结点或一个红色结点，这时我们就可以结束递归并把问题解决了。
      以上就是红黑树的节点删除全过程。
      总结：
      如果我们通过上面的情况画出所有的分支图，我们可以得出如下结论
      插入操作：解决的是 红-红 问题
      删除操作：解决的是 黑-黑 问题

      即你可以从分支图中看出，需要往上遍历的情况为红红(插入)，或者为黑黑黑（删除）的情况，如果你认真分析并总结所有的情况后，并坚持下来，红黑树也就没有想象中的那么恐怖了，并且很美妙；