数据结构之二叉树(概念)

树的定义：

树是n个结点的有限集。 n = 0 称为空树。如果n>0，则：

(1)有一个特定的称之为根的结点，它只有直接后继，但没有直接前驱。

(2)除根以外的其他结点划分为m个互不相交的有限集合，每个集合又是一棵树，并且称之为根的子树。每棵子树的根节点有且仅有一个直接前驱，但可以有0个或多个直接后继。

 

与树相关的定义：

节点：表示树中的元素，包括数据元素的内容及其指向其子树的分支。

节点的度：节点的分支数。

终端节点（叶子节点）：度为0的节点。

非终端节点：度不为0的结点。

节点的层次：树中根节点的层次为1，根节点子树的根为第二层，以此类推。树中结点的最大层次称为树的深度或高度。

有序树、无序树：如果树中每棵子树从左向右的排列拥有一定的顺序，不得互    换，则称为有序树，否则称为无序树。

 

在树结构中，节点之间的关系又可以用家族关系描述。

(1)孩子、双亲：某个结点的子树称为这个结点的孩子，而这个结点又被称为孩子的双亲。

(2)子孙：以某节点为根的子树中的所有节点都被称为该节点的子孙。

(3)兄弟：同一个双亲的孩子之间互为兄弟。

(4)堂兄弟：双亲在同一层的节点互为堂兄弟。

 

树的存储：双亲表示法  孩子表示法  双亲孩子表示法

 

1、二叉树的定义

     二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

 

1.1 二叉树的特点 

     二叉树的特点有： 

     1）每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的。 

     2）左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。 

     3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

 

 1.2 特殊二叉树 

     1、斜树 

     所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。 

     斜树有很明显的特点：就是每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。 这也叫树，与线性表结构不是一样？其实线性表结构就可以理解为是树的一种极其特殊的表现形式    

  

     2、满二叉树 

     在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。 单是每个节点都存在左右子树，不能算是满二叉树，还必须要所有的叶子都在同一层，这就做到了整棵树的平衡。

     满二叉树的特点是： 

     1）叶子结点只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达到平衡。 

     2）非叶子结点的度一定是2。 

     3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。 

 

     

    3、完全二叉树 

     对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1<=i<=n）的结点域同样深度的满二叉树编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。 

     满二叉树一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的。

 按照层序编号，出线位置编号空档，所以不是完全二叉树。尽管不是满二叉树，但是编号是连续的，所以它是完全二叉树。

     完全二叉树的特点： 

     1）叶子结点只能出现在最下两层 

     2）最下层的叶子一定集中在左部连续位置

     3）倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置 

     4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况 

     5）同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小

 

判断某二叉树是否是完全二叉树的办法：那就是看着树的示意图，心中默默给每个节点按照满二叉树的结构逐层顺序编号，如果编号出现空档，就说明不是完全二叉树。

 

 2、二叉树的性质 

    性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点（i>=1）

    性质2：深度为k的二叉树至多有2k -1个结点（i>=1）

  性质3： 对于任何一棵二叉树T，如果其终端结点数位n0，度为2的结点数位n2，则n0=n2+1。

终端节点数就是叶子节点数，而一颗二叉树，除了叶子节点外，剩下的就是度为1或2的结点数了。

    性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log2n| + 1（|x|表示不大于x的最大整数）

    性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为|log2n| + 1）的结点按层序编号（从第1层到第|log2n| + 1层，每层从左到右），对任一结点i（1<=i<=n）

    有：

        1）如果i=1，则结点i为二叉树的根，无双亲；如i>1，则其双亲是结点|i/2|

        2）如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i

        3）如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

3、二叉树的存储结构

    3.1 二叉树的顺序存储结构

    二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉数中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系，比如双亲与孩子的关系、左右兄弟的关系等。

    先来看看完全二叉树的顺序存储，一棵完全的二叉树如下图所示。

    将这棵二叉树保存到数组中，相应的下标对应其同样的位置，如下图所示。

    当然，对于一般的二叉树，尽管层序编号不能反映逻辑关系，但是可以将其按完全二叉树编号，只不过，把不存在的结点设置为"^"而已。如下图所示，注意浅色结点表示不存在。

    考虑一种极端的情况，一棵深度为k的右斜树，它只有k个结点，却需要分配2k-1个存储单元空间，这显然是对存储空间的浪费。所以，顺序存储结构一般只用于完全二叉树。

 

    

 

    3.2 二叉链表

    既然顺序存储适应性不强，就要考虑链式存储结构。二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，称这一的链表叫做二叉链表。

    以下是二叉链表的结点结构定义代码。

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/* 二叉树的二叉链表结点定义 */

typedef struct BitNode                        /*结点结构*/

{

         ElemType data;                         /* 结点数据 */

         struct BitNode *lchild, *rchild;      /* 左右孩子结点指针 */

}BitNode, *BiTree;

     结构示意图如下所示。

 

data是数据域，lchild和rchild都是指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。

如果有需要，我们可以再增加一个指向其双亲的指针域，那样就称之为三叉链表。

 

参考:严蔚敏老师之《数据结构》、程杰之《大话数据结构》