图像处理中目标函数求解方法整理（更新一部分）

图像处理中目标函数各式各样，很难记住相应的求解方法，本文档今天就给大家稍微整理一下，方便大家查阅。

大约7~8种，先更新一部分，码公式太累了，剩下的抽空慢慢更新吧。

说明：参看本篇博客前，请参看我的上一篇博客：矩阵求导。不然对本篇博客很难理解或者一知半解。

第一种

1. min12∥X∥2F+12∥X−M∥2F，已知M∈Rm×n

   不难发现目标函数是凸的，肯定存在一个 X 使得目标函数有最小值。对于这种无约束、凸函数，直接采用对目标函数求导进行求解。这就是检验你矩阵求导的本领了。

   令 F=12∥X∥2F+12∥X−M∥2F，对其求导并令求导的结果等于0

   得 ∂F∂X=X+(X−M)=0

   推出：X=12M

   经过上面的演示，相信大家都会这种问题的求解了。

第二种

1. minλ|X|1+12∥X−M∥2F，已知M∈Rm×n

   这个问题和第一种明显不同，含有 L1 范数，就不能直接求导来解决。那该怎么求解呢？不妨从简单到一般。

   假设我们新的目标函数是：

   minλ|x|+12(x−m)2，这是高中的数学知识，应该难不倒大家。

   ①当 x⩾0时，f=[x−(m−λ)]2+12m2−12(m−λ)2

   ②当 x⩽0时，f=[x−(m+λ)]2+12m2−12(m+λ)2

   解得：x⩾0时，

   x={m−λ,0,m−λ⩾0m−λ<0

   解得：x<0时，

   x={0,m+λ,m+λ⩾0m+λ<0

   综上，

   x=⎧⎩⎨⎪⎪m−λ,0,m+λ,m>λ−λ≤m≤λm<−λ

   相信有些人已经看出眉目来了，这个简单的例子就是上面目标函数中矩阵 X 的任意一个元素的求解方法。
   具体的来说就是：

   minλ|X|1+12∥X−M∥2F，已知M∈Rm×n

   =min∑mi=1∑nj=1[λ∣∣xij∣∣+12(xij−mij)2]

   =min∑λ|x11|+12(x11−m11)2+λ|x12|+12(x12−m12)2+...+λ|xmn|+12(xmn−mmn)2

   对任意的 xij 都要取到最小值时，整个目标函数才能取得最小值。所以有：

   综上，

   xij=⎧⎩⎨⎪⎪mij−λ,0,mij+λ,mij>λ−λ≤mij≤λmij<−λ

   那编程到底怎么弄，难不成需要循环遍历吗？其实这个地方很简单，一条 matlab 语句就实现了。

   X=max(M−λ,0)+min(0,M+λ)

   好了，这种类型，相信你应该会了吧。

以下内容以后再更新吧！

第三种

1. minλ|X|∗+12∥X−M∥2F，已知M∈Rm×n

   这个问题又不同了，含有核范数。那该怎么求解呢？

第四种

1. minλ2∥X∥22+12∥b−AX∥22

第五种

1. minλ2∥X∥2F+12∥B−AX∥2F

第六种

1. minf(x) , s.t.g(x)=0

   拉格朗日或者ALM(增广拉格朗日)

第七种

Lasso 问题，这个在子空间聚类、稀疏以及矩阵低秩相关的方向中常常遇到。

1. minλ∥X∥1+12∥b−AX∥22

有两种解法。