extendGcd,即扩展欧几里得算法的C++模板化解释
来源:互联网 发布:淘宝买家黑名单 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 18:52
刚刚接触感觉很高大上的“扩展欧几里得算法“,很郁闷,研究了很久。现在感觉能够套模板了,当然这样是远远不够的,不过先写篇博客记录一下最近的动态。帮助自己记忆,也可以帮助大家理解下这个数学算法,当然欢迎各位的斧正和指点,我将不断努力!
首先,明确我们要求ax+by=c中x,y的整数解(至于没有解的情况下边会讨论)
大家应该看到过ax+by=Gcd(a,b)的式子,现在我也不明白这是什么,以下是我大概能够死记硬背的(大家能学会的还是去学学原理)。
先求gcd(a,b),程序如下:
typedef long long LL;using namespace std;LL gcd(LL a,LL b){ while(a%b){ LL temp=b; b=a%b; a=temp; } return b;}LL d=gcd(a,b);
后,a/=d,b/=d,c/=d;这里有当c%d!=0是,ax+by=c不存在整数解(我也不知道为什么,真的模板化了)
于是原式变成a'x+b'y=c'。据说那个扩展欧几里得求的是a'x+b'y=1的解,给出extendGcd(a,b)的模板
void exGcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){ if(b==0){ x=1;y=0; return ; } exGcd(b,a%b,x,y); LL temp; temp=y; y=x-a/b*y; x=temp;}这里不难得到修改后的x,y为方程a'x+b'y=1的解,那么c'x0,c'y0就是a'x+b'y=c'的一组特解了,根据参数方程的性质,我们引入t(整数)来写出x,y通解的参数方程x=c'x0-b't,y=c'y0+a't。
通常题目要求我们求问题的最小解,所以当x->0时,我们求出的t=c'x0/b(这里是有误差的,因为在C语言中的除不一定,事实上,我们可以判断下x<0时,可以让t=t+1。
下面来看一道典型的模板题吧。
poj 1061
青蛙的约会
Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000KTotal Submissions: 96453 Accepted: 18021
Description
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
1 2 3 4 5
Sample Output
4
代码如下
#include <iostream>#include <cstdio>typedef long long LL;using namespace std;LL gcd(LL a,LL b){ while(a%b){ LL temp=b; b=a%b; a=temp; } return b;}void exGcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){ if(b==0){ x=1;y=0; return ; } exGcd(b,a%b,x,y); LL temp; temp=y; y=x-a/b*y; x=temp;}int main(){ LL x,y,m,n,l,ans,key,t; while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)){ /* (n-m)*ans+k*l=x-y; * n-m=a,ans=x,k=y,l=b,x-y=c; * a*x+b*y=c; */ LL a=n-m,b=l,c=x-y; LL d=gcd(a,b); //cout << d <<endl; if(c%d) {printf("Impossible\n");continue;} a/=d;b/=d;c/=d; exGcd(a,b,ans,key); t=c*ans/b; ans=c*ans-t*b; if(ans<0) ans+=b; printf("%I64d\n",ans); } return 0;}
学不好的我..只好这样背公式了,希望以后能学好!
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