棋盘覆盖问题

棋盘覆盖问题

问题描述：

有一个2^k * 2^k的方格棋盘，恰有一个方格是黑色的，其他为白色。你的任务是包含3个方格的 L 型牌覆盖所有白色方格。黑色方格不能覆盖，且任意一个白色方格不能同时被两个活更多牌覆盖。如图一所示为L 型牌的4种旋转方式。

图一  L 型牌

算法分析：

由于棋盘是2^k * 2^k的，则可用分治方法来解决该问题.先把棋盘切为4块,则一块都是2^(k-1) * 2^(k-1) ,有黑色格子的那一块则可以通过递归解决,由于其他3块并没有黑色格子,则可以通过 L 型牌构造出一个黑色格子，如图二所示。当递归到只剩 1*1的格子时，则到达递归边界。

                                                                                                     

                                                                                                     图二   构造黑色格子

如果k = 2,并且黑格子是(3,3),则棋盘是一个4*4的棋盘.如图所示，先将4*4棋盘分成4块,判断黑点在4块中的位置,黑点在右下角块，则将左上角块的右下角块(即图中(1,1)块)标记为A, 然后将A 看成黑块,递归左上角块,然后依次递归每一块，直到递归到只剩1*1 格子！递归后填的结果如图所示。

                                                                                                            

代码实现：

#include <iostream>  #include <math.h>  #include <string.h>  #include <stdio.h>  using namespace std;  int maps[100][100];    ///tr,tc分别表示矩形的左边界和上边界(左上角的行号和列号)  ///endr,endc分别表示黑色方格的行号和列号,sizes表示 2^k  void mem(int tr, int tc, int endr, int endc, int sizes)  {      if(sizes == 1)  return;        static int mark = 0;      int num = ++mark;      int mid = sizes / 2;        if(endr < tr + mid && endc < tc + mid) ///黑色方格在左上角          mem(tr,tc,endr,endc,mid);      else ///黑色方格不在左上角棋盘,则将左上角棋盘的右下角设为相应的数字      {          maps[tr + mid - 1][tc + mid - 1] = num;          mem(tr,tc,tr + mid - 1,tc + mid - 1,mid);      }        if(endr < tr + mid && endc >= tc + mid) ///黑色方格在右上角          mem(tr,tc + mid,endr,endc,mid);      else ///黑色方格不在右上角棋盘,则将右上角棋盘的左下角设为相应的数字      {          maps[tr + mid - 1][tc + mid] = num;          mem(tr,tc + mid,tr + mid - 1,tc + mid,mid);      }        if(endr >= tr + mid && endc < tc + mid) ///黑色方格在左下角          mem(tr + mid,tc,endr,endc,mid);      else ///黑色方格不在左下角棋盘,则将左下角棋盘的右上角设为相应的数字      {          maps[tr + mid][tc + mid - 1] = num;          mem(tr + mid,tc,tr + mid,tc + mid - 1,mid);      }        if(endr >= tr + mid && endc >= tc + mid) ///黑色方格在右下角          mem(tr + mid,tc + mid,endr,endc,mid);      else ///黑色方格不在右下角棋盘,则将右下角棋盘的左上角设为相应的数字      {          maps[tr + mid][tc + mid] = num;          mem(tr + mid,tc + mid,tr + mid,tc + mid,mid);      }  }    int main()  {      int k, x, y;      while(scanf("%d %d %d",&k,&x,&y))      {          int z = 1;          memset(maps,0,sizeof(maps));          for(int i = 0; i < k; i++)              z *= 2;          printf("%d\n",z);          mem(0,0,x,y,z);          for(int i = 0; i < z; i++)          {              for(int j = 0; j < z; j++)                  printf("%c ",maps[i][j] + 'A' - 1);              printf("\n");          }      }      return 0;  }