暑假集训——递推 P - 折线分区域

P - 折线分区域

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Description

我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。 

 

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示折线的数量。 

 

Output

对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。 

 

Sample Input

212 

 

Sample Output

27 

分析：

解题思路：

１递推递推，先分析下直线分割平面的情况，增加第n条直线的时候，跟之前的直线最多有n-1个交点，此时分出的部分多出了（n-1）+1；所以f[n]=f[n-1]+n-1+1;

２折线也是同理，f(1)=2,f(2)=7,先画好前面n-1条折线

当增加第n条拆线时，此时折线中的一条与图形的交点最多有2*（n-1）

因为n-1条折线相当于2*（n-1)条直线，那么一条折线就有2*2(n-1)个交点，

所以分出的部分多出了2*2（n-1）+1所以推出f(n)=f(n-1)+4*(n-1)+1,n>=2

还有f[n]=n(2n-1)+1,这是从递推公式中推出来的;

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#include<stdio.h>int main(){    int t,n,i;    long long  a[10010];    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        a[0]=0,a[1]=2,a[2]=7;        scanf("%d",&n);        for(i=3;i<=n;i++)            a[i]=a[i-1]+4*(i-1)+1;        printf("%lld\n",a[n]);    }    return 0;}

B - 三角形

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Description

用N个三角形最多可以把平面分成几个区域? 

 

Input

输入数据的第一行是一个正整数T(1<=T<=10000),表示测试数据的数量.然后是T组测试数据,每组测试数据只包含一个正整数N(1<=N<=10000).

 

Output

对于每组测试数据,请输出题目中要求的结果. 

 

Sample Input

212 

 

Sample Output

28 

3  三角形也去递推，f[1]=2;f[2]=8;增加的交点和增加的部分相同

平面本身是1部分．一个三角形将平面分成三角形内、外2部分，即增加了1部分，
两个三角形不相交时将平面分成3部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下图）；

当增加第n个三角形时，三角形的一条边只能跟别的三角形的两条边相交

那么交点就增加了2(n-1),三条边就增加了3*2(n-1)个交点

所以推出f[n]=f[n-1]+6*(n-1);

另外，因为1个三角形时有2部分，所以n个三角形最多将平面分成的部分数是：
2+6×[1+2+…+（n-1）]=2+3n(n-1)

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#include<stdio.h>int main(){    int n,m,i,a[10010];    a[1]=2;a[2]=8;    for(i=3;i<=10000;i++)        a[i]=a[i-1]+6*(i-1);    scanf("%d",&n);    while(n--)    {        scanf("%d",&m);        printf("%d\n",a[m]);    }    return 0;}

P - 折线分区域

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我们看到过很多直线分割平面的题目，今天的这个题目稍微有些变化，我们要求的是n条折线分割平面的最大数目。比如，一条折线可以将平面分成两部分，两条折线最多可以将平面分成7部分，具体如下所示。 

 

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C 行数据，每行包含一个整数n(0<n<=10000),表示折线的数量。 

 

Output

对于每个测试实例，请输出平面的最大分割数，每个实例的输出占一行。 

 

Sample Input

212 

 

Sample Output

27 

分析：

解题思路：

１递推递推，先分析下直线分割平面的情况，增加第n条直线的时候，跟之前的直线最多有n-1个交点，此时分出的部分多出了（n-1）+1；所以f[n]=f[n-1]+n-1+1;

２折线也是同理，f(1)=2,f(2)=7,先画好前面n-1条折线

当增加第n条拆线时，此时折线中的一条与图形的交点最多有2*（n-1）

因为n-1条折线相当于2*（n-1)条直线，那么一条折线就有2*2(n-1)个交点，

所以分出的部分多出了2*2（n-1）+1所以推出f(n)=f(n-1)+4*(n-1)+1,n>=2

还有f[n]=n(2n-1)+1,这是从递推公式中推出来的;

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#include<stdio.h>int main(){    int t,n,i;    long long  a[10010];    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        a[0]=0,a[1]=2,a[2]=7;        scanf("%d",&n);        for(i=3;i<=n;i++)            a[i]=a[i-1]+4*(i-1)+1;        printf("%lld\n",a[n]);    }    return 0;}

B - 三角形

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用N个三角形最多可以把平面分成几个区域? 

 

Input

输入数据的第一行是一个正整数T(1<=T<=10000),表示测试数据的数量.然后是T组测试数据,每组测试数据只包含一个正整数N(1<=N<=10000).

 

Output

对于每组测试数据,请输出题目中要求的结果. 

 

Sample Input

212 

 

Sample Output

28 

3  三角形也去递推，f[1]=2;f[2]=8;增加的交点和增加的部分相同

平面本身是1部分．一个三角形将平面分成三角形内、外2部分，即增加了1部分，
两个三角形不相交时将平面分成3部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下图）；

当增加第n个三角形时，三角形的一条边只能跟别的三角形的两条边相交

那么交点就增加了2(n-1),三条边就增加了3*2(n-1)个交点

所以推出f[n]=f[n-1]+6*(n-1);

另外，因为1个三角形时有2部分，所以n个三角形最多将平面分成的部分数是：
2+6×[1+2+…+（n-1）]=2+6×

n(n-1)2=2+3n（n-1）

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#include<stdio.h>int main(){    int n,m,i,a[10010];    a[1]=2;a[2]=8;    for(i=3;i<=10000;i++)        a[i]=a[i-1]+6*(i-1);    scanf("%d",&n);    while(n--)    {        scanf("%d",&m);        printf("%d\n",a[m]);    }    return 0;}