动态规划---最长公共子序列

来源：互联网发布：plc模块化编程实例编辑：程序博客网时间：2024/06/12 00:45

看完算法导论关于这部分内容之后的总结：

关于最长公共子序列问题：

给定两个子序列 X=<X1， X2， X3 ， .... ， Xm > ； Y=<Y1， Y2， Y3 ，...， Yn>，求X和Y长度最长的公共子序列。

解决方法：

首先先要了解LCS的最优子结构，令X=<X1， X2， X3 ， .... ， Xm > ； Y=<Y1， Y2， Y3 ，...， Yn>为两个子序列，Z = <Z1，Z2，... ，Zk>为X和Y的任意LCS。

1、如果 Xm = Yn ，则 Zk = Xm = Yn 且 Zk-1 是 Xm-1 和 Yn-1 的一个LCS；

2、如果 Xm ≠ Yn ，则 Zk ≠ Xm ，意味着 Z 是Xm-1和Y 的一个LCS；

3、如果 Xm ≠ Yn ，则 Zk ≠ Yn ，意味着 Z 是X和Yn-1 的一个LCS；

求解最长公共子序列主要用到以下公式

伪代码分析

LCS_LENGTH(X,Y)
1、 m = X.length
2、 n = Y.length
3、 for i = 1 to m
4、 c[i,0] = 0 //c[][]计算表项
5、 for j =0 to m
6、 c[0,j] = 0

7、 for i = 1 to m
8、 for j = 1 to n
9、 if Xi == Yj //先比较Xi 和 Yj 是否相等
10、 c[i,j] = c[i-1][j-1] + 1 //相等的话就将c[i,j]的值加上其上一个对角线元素的值
11、 b[i,j] = "↖" //并将当前单元格设置成"↖"
12、 elseif c[i-1][j] ≥ c[i][j-1] //Xi 和 Yj 不相等，则比较当前单元格上方和左方单元格的值
13、 c[i,j] = c[i-1][j] //如果上方单元格的值大于等于其左方单元格的值，则当前单元格设置成"↑"
14、 b[i][j] = "↑"
15、 else
16、 c[i][j] = c[i][j-1]
17、 b[i][j] = "←" //否则设置成"←"
18、return c and b

根据以上伪代码构造出的表

执行4，5行后得到下面这个表：

j0123456i YjBDCABA0Xi00000001A0 2B0 3C0 4B0 5D0 6A0 7B0
然后以行为主序开始扫描：

我们可以先找出 Xi == Yj 的单元格，标记它的值和箭头方向。

当i = 1时，扫描第一行中为(A，A)的单元格，标记为↖，并执行c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1；
其它的单元格按照12-17行的代码进行标记，如(X1，Y1) = (A，B)，两者不相同，所以比较(X1，Y1)上方和左方的单元格的值。哪个的值大，箭头就指向哪个单元格，并将c[i][j]的值设置为c[i-1,j]，c[i,j-1]中具有较大值的单元格的值。 j0123456i YjBDCABA0Xi00000001A0↑0↑0↑0↖1←1↖12B0 3C0 4B0 5D0 6A0 7B0 当 i = 2时，按照以上方法进行单元格赋值。

。。。。

最后得到以下表格：

j0123456i YjBDCABA0Xi00000001A0↑0↑0↑0↖1←1↖12B0 3C0 4B0 5D0 6A0 7B0

j0123456i YjBDCABA0Xi00000001A0↑0↑0↑0↖1←1↖12B0↖1←1←1↑1↖2←23C0↑1↑1↖2←2↑2↑24B0↖1↑1↑2↑2↖3←35D0↑1↖2↑2↑2↑3↑36A0↑1↑2↑2↖3↑3↖47B0↖1↑2↑2↑3↖4

↑

得到上面的表格之后，执行以下函数得到LCS

PRINT-LCS(b, X, X.length, Y.length)
1、if X.length==0 || Y.length == 0
2、 return;
3、if b[i,j] == "↖"
4、 PRINT-LCS(b, X, X.length-1, Y.length-1)
5、 print Xi
6、elseif b[i,j] == "↑"
7、 PRINT-LCS(b, X, X.length-1, Y.length)
8、else
9、 PRINT-LCS(b, X, X.length, Y.length-1)

j0123456i YjBDCABA0Xi00000001A0↑0↑0↑0↖1←1↖12B0 3C0 4B0 5D0 6A0 7B0

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