四元数

来源：互联网发布：ubuntu与fedora的异同编辑：程序博客网时间：2024/04/30 01:14

一.四元数定义

四元数的通用定义为： $q = s+xi+yi+zk s,x,y,z\in \mathbb{R}$ 根据 Haniton 公式 $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$ 且有如下关系 $ij = k$ , $jk = i$ , $ki = j$ , $ji = -k$ , $kj=-i$ , $ik = -j$ ，形象的表示如下图所示:

四元数有序对表示法： $q=[s,V] s\in \mathbb{R},V\in\mathbb{R}^{3}$ ，注意此处的V为向量，其中i,j,k 性质已经没有上述四元数中 i,j,k 的性质

二. 四元数运算

1. 加法

假设 $q_{a}=[s_{a},a]$ , $q_{b}=[s_{a},b]$ ，则 $q_{a}\pm q_{b}=[s_{a}\pm s_{b} ,a\pm b]$ ，即两部分分别相加

2.乘法

假设 $q_{a}=[s_{a},a]$ $q_{b}=[s_{a},b]$ , 则 $q_{a}q_{b}=[s_{a},a][s_{b},b]$ $=(s_{a}+x_{a}i+y_{a}j+z_{a}k)(s_{b}+x_{b}i+y_{b}j+z_{b}k)$

$=[s_{a}s_{b}-a\cdot b,s_{a}b+s_{b}a+a\times b]$

三.四元数相关概念

单元四元数 $q=[s,V]$ $=[s,0]+[0,V]$ $=[s,0]+v[0,\hat{V}]$ $=s+v\hat{q}$

四元数对 $q=[s,V]$ $q^{*}=[s,-V]$ 则 $qq^{*}=[s,V][s,-V]=[s^{2}-V\cdot -V,-sV+sV+V\times -V]=[s^{2}+v^{2},0]$

模运算 $|z| = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 假设 $q=[s,V]$ ,则 $|q|=\sqrt{s^{2}+v^{2}}$ ,另外，有关系式成立 $zz^{*}=|z|^{2}$

逆运算 (Inverse) $q^{-1}=q^{*}/|q|^{2}$ 四元数和自身的逆乘积为1 $qq^{-1}=[1,0]=1$

三. 四元数旋转

优点：
- 可以避免万向节锁现象；
- 只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷，在某些实现下比旋转矩阵效率更高；
- 可以提供平滑插值；
缺点：
- 比欧拉旋转稍微复杂了一点点，因为多了一个维度；
- 理解更困难，不直观；

首先考虑一种简单的情况，如下图，p垂直于q, P绕q旋转45°

$q=cos\theta +isin\theta$ $q=[cos\theta ,Vsin\theta]$

$p=[0,P]$ $q=[s,\lambda \hat{V}]$ $p{}' = qp = [s,\lambda \hat{V}][0,P] = [-\lambda \hat{V}\cdot P,sP+\lambda \hat{V}\times P]$ 令 $-\lambda \hat{V}\cdot P=0$ 则 $P{}'=[0,cos\theta P+sin\theta \hat{V}\times P]$

令 $q=[cos\theta P,sin\theta K]$ j角度为 45°， $p = [0,2i]$ ,则 $p{}'=qp = [\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}K][0,2i] = [0,\sqrt{2}i+\sqrt{2}j]$ ，此时模为 2，和原来是一样的