UVA 10061 How many zeros and how many digits?

来源：互联网发布：蒙泰打印机端口在哪里编辑：程序博客网时间：2024/06/04 17:46

题目

多少个零和数字？

分析

真的难；
计算n!有多少位以及有多少尾零；
第一个问题是多少位，举一些栗子， $16 (10) = 1 \times 101 + 6 \times 100$ $256 (10) = 2 \times 102 + 5 \times 101 + 6 \times 100$
对于给定的数字a和进制b，只需要求k=floor(logba)=floor(logalogb)即可获得位数k，实际上所求的是bk<a<bk+1，如果先行求出n!，可能存在溢出和超时，那么可以这样 $l o g (n!) = l o g (n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 1) = l o g (n) + l o g (n - 1) + l o g (n - 2) + \dots + l o g (1)$
第二个问题是尾零，观察3000(10)!，
求尾零实际是在求有多少个10相乘，1000=10×10×10有3个10就有三个0，再而分析，有1个10就有一个5（最大质因数），求出这些数分解后有多少个5相乘，就有多少个尾零，为什么考虑5呢？因为阶乘可能溢出或者超时，如果拆开对每个数考察，只考察10结果是不可靠的，所以应该考察组成10的因子；
3000(10)!可以表示为
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times (5 \times 1) \times \dots \times 9 \times (5 \times 2) \times \dots \times 14 \times (5 \times 3) \times \dots \times 1 \times (5 \times 600)$
有600个5相乘，就是有600个0。
但是在上式中，括号内的[1,600]这些数字中又有5的倍数，那么[1,600]中有多少个5的倍数，意味着漏了多少个0。
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times (5 \times 1) \times \dots \times 9 \times (5 \times 2) \times \dots \times 14 \times (5 \times 3) \times \dots \times 1 \times (5 \times 120)$
有120个5相乘，就是有120个0 。
但是在上式中，括号内的[1,120]这些数字中又有5的倍数，那么[1,120]中有多少个5的倍数，意味着又漏了多少个0。
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times (5 \times 1) \times \dots \times 9 \times (5 \times 2) \times \dots \times 14 \times (5 \times 3) \times \dots \times 1 \times (5 \times 24)$
有24个5相乘，就是有24个0 。
但是在上式中，括号内的[1,24]这些数字中又有5的倍数，那么[1,24]中有多少个5的倍数，意味着又漏了多少个0。
$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times (5 \times 1) \times \dots \times 9 \times (5 \times 2) \times \dots \times 14 \times (5 \times 3) \times \dots \times 1 \times (5 \times 4) \times \dots \times 24$
有4个5相乘，就是有4个0 。
此时不再有5，结束。共有600+120+24+4=748个尾零。

代码

#include <stdio.h>#include <math.h>int cal_digit(int n, int b){    int i;    double l;    for (i = 2, l = 0; i <= n; i++)        l += log10(i) / log10(b);    return l + 1;}int cal_zero(int n, int b){    int i, d, m, t;    for (i = 2, d = 1; i <= b; i++) {        m = 0;        while (b % i == 0) {            m++;            d = i;            b /= i;        }    }    for (t = 0; n > 0; ) {        t += n / d;        n /= d;    }    return t / m;}int main(void){    int n, b;    while (scanf("%d%d", &n, &b) != EOF)        printf("%d %d\n", cal_zero(n, b), cal_digit(n, b));    return 0;}

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