【数学】关于素数的检验

最近看了一些关于素数的检验问题(伯努利试验)，简单写一写，和大家分享一下。

定义：
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，即因数中只含有1和它本身，则称其为素数，又叫质数，其他的数称为合数。

素数的分布：
定义π(n)为小于等于n的素数个数，有定理如下(素数定理)：

limn→∞π(n)n/lnn=1

则我们可以近似认为在前n个正整数中素数的个数大约是 1/lnn 个。

暴力的检验方法：
如果我们想知道一个数n是否为素数，那么根据定义，显然我们可以从2到n-1枚举一遍，看是否是n的因数，如果有是的，则是合数，否则是素数。时间复杂度O(n)。

略微改进的暴力检验方法：
显然上一种方法实在是过于暴力，我们多做了不少无用功。其实只需要从2到 n√ 枚举即可。
证明：
对于一个数n，如果存在一个大于(等于) n√ 的数x能整除它(是它的因数)，则一定存在一个小于(等于) n√ 的数y也能整除它(是它的因数)，且x*y=n。
这样我们的时间复杂度降到了O( n√)。

费马检验：
以上两种方法虽然可以保证检验的正确性，但效率低下，并不适用于大素数的检验，于是便有了费马检测。
费马检测的理论基础是由“史上最杰出的业余数学家”费马提出的费马小定理：

ap−1≡1(mod p),gcd(a,p)=1(a,p互质),p为素数

这说明对于一个素数p，任意a∈{1,2,3…p-1}，以上等式恒成立。而令人惊奇的是其逆定理也 几乎 成立，即对于一个数n，如果任意a∈{1,2,3,…n-1}，都使得以上等式成立，那么这个数n 几乎 就是一个素数。
于是我们就可以根据此结论来得出一种对于大素数的检验方法：
选择一个底数a(a∈{1,2,3…n-1})，计算 ap−1 在 mod p 意义下是否等于1，如果不等于则n一定是合数，如果不等于则认为其是素数。

bool judge(int a,int b){    int s=1,p=b+1;    while (b>0){        if (b&1) s=(s*a)%p;        b>>=1; a=(a*a)%p;    }    if (s==1) return true;    else return false;}void Fermat(int n){    if (judge(2,n-1)) printf("May be a prime\n");//可能是素数    else printf("Must be a composite\n");//一定是合数}

费马检测的时间复杂度是O(logn)的，但因为是“几乎成立”，所以有一些合数会被误判为素数，这些数x满足任意a∈{1,2,3…x-1}等式均成立，它们被称为Carmichael数，不过Carmichael数并不多，分布十分稀疏，有研究证明，在以2为底的情况下，512位整数中碰到这种数的概率是 1/1020，而在1024位整数中碰到的概率是 1/1041，判断失误的概率非常低，所以费马检测的正确性还是比较可靠的。

Miller-Rabin检验：
因为存在Carmichael数，所以单一的费马检验并不能完全满足人们的需求，于是便诞生了Miller-Rabin检验。
Miller-Rabin检验的理论基础：
如果n是素数，x为小于n的正整数，且 x2=1(mod n)，则x是1或n-1。
证明：
因为 x2=1(mod n)，所以n整除 x2−1，即整除(x+1)(x-1)。因为n为素数，所以n整除(x+1)或(x-1)，n整除(x+1)时x=n-1，n整除(x-1)时x=1。
这就说明，对于一个数n，如果存在小于n的正整数x使得等式有非平凡平方根(1和n-1之外的数)，则n一定是一个合数。
于是我们就有了具体的操作思路：
执行T轮，以增加其可靠度。
首先把n-1分解成 k∗2t，然后累乘计算 ak∗20,ak∗21...ak∗2t 判断是否成立即可。

int Pow(int a,int b,int p){    int s=1;    while (b>0){        if (b&1) s=(s*a)%p;        b>>=1; a=(a*a)%p;    }    return s;}bool judge(int n,int k,int t){    int a=rand()%(n-2)+2;    int y=Pow(a,k,n);    if (y!=1 && y!=n-1)        for (int j=1; j<=t-1 && y!=n-1; j++){            y=(y*y)%n;            if (y==1) return false;        }    if (y!=n-1) return false;    return true;}bool witness(int n,int T){    if (n<2 || n&1==0) return false;    if (n==2) return true;    int k=n-1,t=0; bool f;    for (; k%2==0; k>>=1,t++);    for (int i=1; i<=T; i++){        f=true;        if (!judge(n,k,t)){            f=false;            break;        }    }    return f;}void Miller_Rabin(int n){    int T=rand()%41+10;    if (witness(n,T)) printf("May be a prime\n");//可能是素数    else printf("Must be a composite\n");//一定是合数 }

显然Miller-Rabin的时间复杂度是O(Tlogn)，判断比较可靠。