经典算法题每日演练——第十六题 Kruskal算法

  这篇我们看看第二种生成树的Kruskal算法，这个算法的魅力在于我们可以打一下算法和数据结构的组合拳，很有意思的。

一：思想

    若存在M={0,1,2,3,4,5}这样6个节点，我们知道Prim算法构建生成树是从”顶点”这个角度来思考的，然后采用“贪心思想”

来一步步扩大化，最后形成整体最优解，而Kruskal算法有点意思，它是站在”边“这个角度在思考的，首先我有两个集合。

1. 顶点集合(vertexs)：

     比如M集合中的每个元素都可以认为是一个独根树（是不是想到了并查集？）。

2.边集合(edges)：

    对图中的每条边按照权值大小进行排序。（是不是想到了优先队列？）

好了，下面该如何操作呢？

首先：我们从edges中选出权值最小的一条边来作为生成树的一条边，然后将该边的两个顶点合并为一个新的树。

然后：我们继续从edges中选出次小的边作为生成树的第二条边，但是前提就是边的两个顶点一定是属于两个集合中，如果不是

        则剔除该边继续选下一条次小边。

最后：经过反复操作，当我们发现n个顶点的图中生成树已经有n-1边的时候，此时生成树构建完毕。

从图中我们还是很清楚的看到Kruskal算法构建生成树的详细过程，同时我们也看到了”并查集“和“优先队列“这两个神器

来加速我们的生成树构建。

 

二：构建

1.Build方法

这里我灌的是一些测试数据，同时在矩阵构建完毕后，将顶点信息放入并查集，同时将边的信息放入优先队列，方便我们在

做生成树的时候秒杀。

 1 #region 矩阵的构建 2         /// <summary> 3         /// 矩阵的构建 4         /// </summary> 5         public void Build() 6         { 7             //顶点数 8             graph.vertexsNum = 6; 9 10             //边数11             graph.edgesNum = 8;12 13             graph.vertexs = new int[graph.vertexsNum];14 15             graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum];16 17             //构建二维数组18             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)19             {20                 //顶点21                 graph.vertexs[i] = i;22 23                 for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++)24                 {25                     graph.edges[i, j] = int.MaxValue;26                 }27             }28 29             graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80;30             graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100;31             graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20;32             graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90;33             graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70;34             graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40;35             graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60;36             graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10;37 38             //优先队列，存放树中的边39             queue = new PriorityQueue<Edge>();40 41             //并查集42             set = new DisjointSet<int>(graph.vertexs);43 44             //将对角线读入到优先队列45             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)46             {47                 for (int j = i; j < graph.vertexsNum; j++)48                 {49                     //说明该边有权重50                     if (graph.edges[i, j] != int.MaxValue)51                     {52                         queue.Eequeue(new Edge()53                         {54                             startEdge = i,55                             endEdge = j,56                             weight = graph.edges[i, j]57                         }, graph.edges[i, j]);58                     }59                 }60             }61         }62         #endregion

 

2：Kruskal算法

并查集，优先队列都有数据了，下面我们只要出队操作就行了，如果边的顶点不在一个集合中，我们将其收集作为最小生成树的一条边，

按着这样的方式，最终生成树构建完毕，怎么样，组合拳打的爽不爽？

 1 #region Kruskal算法 2         /// <summary> 3         /// Kruskal算法 4         /// </summary> 5         public List<Edge> Kruskal() 6         { 7             //最后收集到的最小生成树的边 8             List<Edge> list = new List<Edge>(); 9 10             //循环队列11             while (queue.Count() > 0)12             {13                 var edge = queue.Dequeue();14 15                 //如果该两点是同一个集合，则剔除该集合16                 if (set.IsSameSet(edge.t.startEdge, edge.t.endEdge))17                     continue;18 19                 list.Add(edge.t);20 21                 //然后将startEdge 和 endEdge Union起来，表示一个集合22                 set.Union(edge.t.startEdge, edge.t.endEdge);23 24                 //如果n个节点有n-1边的时候，此时生成树已经构建完毕，提前退出25                 if (list.Count == graph.vertexsNum - 1)26                     break;27             }28 29             return list;30         }31         #endregion

最后是总的代码：

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  1 using System;  2 using System.Collections.Generic;  3 using System.Linq;  4 using System.Text;  5 using System.Diagnostics;  6 using System.Threading;  7 using System.IO;  8 using System.Threading.Tasks;  9  10 namespace ConsoleApplication2 11 { 12     public class Program 13     { 14         public static void Main() 15         { 16             MatrixGraph graph = new MatrixGraph(); 17  18             graph.Build(); 19  20             var edges = graph.Kruskal(); 21  22             foreach (var edge in edges) 23             { 24                 Console.WriteLine("({0},{1})({2})", edge.startEdge, edge.endEdge, edge.weight); 25             } 26  27             Console.Read(); 28         } 29     } 30  31     #region 定义矩阵节点 32     /// <summary> 33     /// 定义矩阵节点 34     /// </summary> 35     public class MatrixGraph 36     { 37         Graph graph = new Graph(); 38  39         PriorityQueue<Edge> queue; 40  41         DisjointSet<int> set; 42  43         public class Graph 44         { 45             /// <summary> 46             /// 顶点信息 47             /// </summary> 48             public int[] vertexs; 49  50             /// <summary> 51             /// 边的条数 52             /// </summary> 53             public int[,] edges; 54  55             /// <summary> 56             /// 顶点个数 57             /// </summary> 58             public int vertexsNum; 59  60             /// <summary> 61             /// 边的个数 62             /// </summary> 63             public int edgesNum; 64         } 65  66         #region 矩阵的构建 67         /// <summary> 68         /// 矩阵的构建 69         /// </summary> 70         public void Build() 71         { 72             //顶点数 73             graph.vertexsNum = 6; 74  75             //边数 76             graph.edgesNum = 8; 77  78             graph.vertexs = new int[graph.vertexsNum]; 79  80             graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum]; 81  82             //构建二维数组 83             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++) 84             { 85                 //顶点 86                 graph.vertexs[i] = i; 87  88                 for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++) 89                 { 90                     graph.edges[i, j] = int.MaxValue; 91                 } 92             } 93  94             graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80; 95             graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100; 96             graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20; 97             graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90; 98             graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70; 99             graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40;100             graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60;101             graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10;102 103             //优先队列，存放树中的边104             queue = new PriorityQueue<Edge>();105 106             //并查集107             set = new DisjointSet<int>(graph.vertexs);108 109             //将对角线读入到优先队列110             for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)111             {112                 for (int j = i; j < graph.vertexsNum; j++)113                 {114                     //说明该边有权重115                     if (graph.edges[i, j] != int.MaxValue)116                     {117                         queue.Eequeue(new Edge()118                         {119                             startEdge = i,120                             endEdge = j,121                             weight = graph.edges[i, j]122                         }, graph.edges[i, j]);123                     }124                 }125             }126         }127         #endregion128 129         #region 边的信息130         /// <summary>131         /// 边的信息132         /// </summary>133         public class Edge134         {135             //开始边136             public int startEdge;137 138             //结束边139             public int endEdge;140 141             //权重142             public int weight;143         }144         #endregion145 146         #region Kruskal算法147         /// <summary>148         /// Kruskal算法149         /// </summary>150         public List<Edge> Kruskal()151         {152             //最后收集到的最小生成树的边153             List<Edge> list = new List<Edge>();154 155             //循环队列156             while (queue.Count() > 0)157             {158                 var edge = queue.Dequeue();159 160                 //如果该两点是同一个集合，则剔除该集合161                 if (set.IsSameSet(edge.t.startEdge, edge.t.endEdge))162                     continue;163 164                 list.Add(edge.t);165 166                 //然后将startEdge 和 endEdge Union起来，表示一个集合167                 set.Union(edge.t.startEdge, edge.t.endEdge);168 169                 //如果n个节点有n-1边的时候，此时生成树已经构建完毕，提前退出170                 if (list.Count == graph.vertexsNum - 1)171                     break;172             }173 174             return list;175         }176         #endregion177     }178     #endregion179 }

并查集：

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  1 using System;  2 using System.Collections.Generic;  3 using System.Linq;  4 using System.Text;  5   6 namespace ConsoleApplication2  7 {  8     /// <summary>  9     /// 并查集 10     /// </summary> 11     public class DisjointSet<T> where T : IComparable 12     { 13         #region 树节点 14         /// <summary> 15         /// 树节点 16         /// </summary> 17         public class Node 18         { 19             /// <summary> 20             /// 父节点 21             /// </summary> 22             public T parent; 23  24             /// <summary> 25             /// 节点的秩 26             /// </summary> 27             public int rank; 28         } 29         #endregion 30  31         Dictionary<T, Node> dic = new Dictionary<T, Node>(); 32  33         public DisjointSet(T[] c) 34         { 35             Init(c); 36         } 37  38         #region 做单一集合的初始化操作 39         /// <summary> 40         /// 做单一集合的初始化操作 41         /// </summary> 42         public void Init(T[] c) 43         { 44             //默认的不想交集合的父节点指向自己 45             for (int i = 0; i < c.Length; i++) 46             { 47                 dic.Add(c[i], new Node() 48                 { 49                     parent = c[i], 50                     rank = 0 51                 }); 52             } 53         } 54         #endregion 55  56         #region 判断两元素是否属于同一个集合 57         /// <summary> 58         /// 判断两元素是否属于同一个集合 59         /// </summary> 60         /// <param name="root1"></param> 61         /// <param name="root2"></param> 62         /// <returns></returns> 63         public bool IsSameSet(T root1, T root2) 64         { 65             return Find(root1).CompareTo(Find(root2)) == 0; 66         } 67         #endregion 68  69         #region  查找x所属的集合 70         /// <summary> 71         /// 查找x所属的集合 72         /// </summary> 73         /// <param name="x"></param> 74         /// <returns></returns> 75         public T Find(T x) 76         { 77             //如果相等，则说明已经到根节点了，返回根节点元素 78             if (dic[x].parent.CompareTo(x) == 0) 79                 return x; 80  81             //路径压缩(回溯的时候赋值，最终的值就是上面返回的"x"，也就是一条路径上全部被修改了) 82             return dic[x].parent = Find(dic[x].parent); 83         } 84         #endregion 85  86         #region 合并两个不相交集合 87         /// <summary> 88         /// 合并两个不相交集合 89         /// </summary> 90         /// <param name="root1"></param> 91         /// <param name="root2"></param> 92         /// <returns></returns> 93         public void Union(T root1, T root2) 94         { 95             T x1 = Find(root1); 96             T y1 = Find(root2); 97  98             //如果根节点相同则说明是同一个集合 99             if (x1.CompareTo(y1) == 0)100                 return;101 102             //说明左集合的深度 < 右集合103             if (dic[x1].rank < dic[y1].rank)104             {105                 //将左集合指向右集合106                 dic[x1].parent = y1;107             }108             else109             {110                 //如果 秩 相等，则将 y1 并入到 x1 中，并将x1++111                 if (dic[x1].rank == dic[y1].rank)112                     dic[x1].rank++;113 114                 dic[y1].parent = x1;115             }116         }117         #endregion118     }119 }

优先队列：

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  1 using System;  2 using System.Collections.Generic;  3 using System.Linq;  4 using System.Text;  5 using System.Diagnostics;  6 using System.Threading;  7 using System.IO;  8   9 namespace ConsoleApplication2 10 { 11     public class PriorityQueue<T> where T : class 12     { 13         /// <summary> 14         /// 定义一个数组来存放节点 15         /// </summary> 16         private List<HeapNode> nodeList = new List<HeapNode>(); 17  18         #region 堆节点定义 19         /// <summary> 20         /// 堆节点定义 21         /// </summary> 22         public class HeapNode 23         { 24             /// <summary> 25             /// 实体数据 26             /// </summary> 27             public T t { get; set; } 28  29             /// <summary> 30             /// 优先级别 1-10个级别 (优先级别递增) 31             /// </summary> 32             public int level { get; set; } 33  34             public HeapNode(T t, int level) 35             { 36                 this.t = t; 37                 this.level = level; 38             } 39  40             public HeapNode() { } 41         } 42         #endregion 43  44         #region  添加操作 45         /// <summary> 46         /// 添加操作 47         /// </summary> 48         public void Eequeue(T t, int level = 1) 49         { 50             //将当前节点追加到堆尾 51             nodeList.Add(new HeapNode(t, level)); 52  53             //如果只有一个节点，则不需要进行筛操作 54             if (nodeList.Count == 1) 55                 return; 56  57             //获取最后一个非叶子节点 58             int parent = nodeList.Count / 2 - 1; 59  60             //堆调整 61             UpHeapAdjust(nodeList, parent); 62         } 63         #endregion 64  65         #region 对堆进行上滤操作，使得满足堆性质 66         /// <summary> 67         /// 对堆进行上滤操作，使得满足堆性质 68         /// </summary> 69         /// <param name="nodeList"></param> 70         /// <param name="index">非叶子节点的之后指针（这里要注意：我们 71         /// 的筛操作时针对非叶节点的） 72         /// </param> 73         public void UpHeapAdjust(List<HeapNode> nodeList, int parent) 74         { 75             while (parent >= 0) 76             { 77                 //当前index节点的左孩子 78                 var left = 2 * parent + 1; 79  80                 //当前index节点的右孩子 81                 var right = left + 1; 82  83                 //parent子节点中最大的孩子节点，方便于parent进行比较 84                 //默认为left节点 85                 var min = left; 86  87                 //判断当前节点是否有右孩子 88                 if (right < nodeList.Count) 89                 { 90                     //判断parent要比较的最大子节点 91                     min = nodeList[left].level < nodeList[right].level ? left : right; 92                 } 93  94                 //如果parent节点大于它的某个子节点的话，此时筛操作 95                 if (nodeList[parent].level > nodeList[min].level) 96                 { 97                     //子节点和父节点进行交换操作 98                     var temp = nodeList[parent]; 99                     nodeList[parent] = nodeList[min];100                     nodeList[min] = temp;101 102                     //继续进行更上一层的过滤103                     parent = (int)Math.Ceiling(parent / 2d) - 1;104                 }105                 else106                 {107                     break;108                 }109             }110         }111         #endregion112 113         #region 优先队列的出队操作114         /// <summary>115         /// 优先队列的出队操作116         /// </summary>117         /// <returns></returns>118         public HeapNode Dequeue()119         {120             if (nodeList.Count == 0)121                 return null;122 123             //出队列操作，弹出数据头元素124             var pop = nodeList[0];125 126             //用尾元素填充头元素127             nodeList[0] = nodeList[nodeList.Count - 1];128 129             //删除尾节点130             nodeList.RemoveAt(nodeList.Count - 1);131 132             //然后从根节点下滤堆133             DownHeapAdjust(nodeList, 0);134 135             return pop;136         }137         #endregion138 139         #region  对堆进行下滤操作，使得满足堆性质140         /// <summary>141         /// 对堆进行下滤操作，使得满足堆性质142         /// </summary>143         /// <param name="nodeList"></param>144         /// <param name="index">非叶子节点的之后指针（这里要注意：我们145         /// 的筛操作时针对非叶节点的）146         /// </param>147         public void DownHeapAdjust(List<HeapNode> nodeList, int parent)148         {149             while (2 * parent + 1 < nodeList.Count)150             {151                 //当前index节点的左孩子152                 var left = 2 * parent + 1;153 154                 //当前index节点的右孩子155                 var right = left + 1;156 157                 //parent子节点中最大的孩子节点，方便于parent进行比较158                 //默认为left节点159                 var min = left;160 161                 //判断当前节点是否有右孩子162                 if (right < nodeList.Count)163                 {164                     //判断parent要比较的最大子节点165                     min = nodeList[left].level < nodeList[right].level ? left : right;166                 }167 168                 //如果parent节点小于它的某个子节点的话，此时筛操作169                 if (nodeList[parent].level > nodeList[min].level)170                 {171                     //子节点和父节点进行交换操作172                     var temp = nodeList[parent];173                     nodeList[parent] = nodeList[min];174                     nodeList[min] = temp;175 176                     //继续进行更下一层的过滤177                     parent = min;178                 }179                 else180                 {181                     break;182                 }183             }184         }185         #endregion186 187         #region 获取元素并下降到指定的level级别188         /// <summary>189         /// 获取元素并下降到指定的level级别190         /// </summary>191         /// <returns></returns>192         public HeapNode GetAndDownPriority(int level)193         {194             if (nodeList.Count == 0)195                 return null;196 197             //获取头元素198             var pop = nodeList[0];199 200             //设置指定优先级（如果为 MinValue 则为 -- 操作）201             nodeList[0].level = level == int.MinValue ? --nodeList[0].level : level;202 203             //下滤堆204             DownHeapAdjust(nodeList, 0);205 206             return nodeList[0];207         }208         #endregion209 210         #region 获取元素并下降优先级211         /// <summary>212         /// 获取元素并下降优先级213         /// </summary>214         /// <returns></returns>215         public HeapNode GetAndDownPriority()216         {217             //下降一个优先级218             return GetAndDownPriority(int.MinValue);219         }220         #endregion221 222         #region 返回当前优先队列中的元素个数223         /// <summary>224         /// 返回当前优先队列中的元素个数225         /// </summary>226         /// <returns></returns>227         public int Count()228         {229             return nodeList.Count;230         }231         #endregion232     }233 }