红黑树的理解说明（删除）

来源：互联网发布：java 策略模式编辑：程序博客网时间：2024/05/16 12:39

红黑树5个性质

1、根节点是黑色的

2、每个节点不是黑色的就是红色的

3、叶子节点都是黑色的

4、如果一个节点是红色的，那么他的2个儿子都是黑色的

5、每个节点到叶子节点的每一条路径都包含相同数量的黑节

删除伪代码，伪代码来自：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6105630

1 if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T]
2 then y ← z
3 else y ← TREE-SUCCESSOR(z)
4 if left[y] ≠ nil[T]
5 then x ← left[y]
6 else x ← right[y]
7 p[x] ← p[y]
8 if p[y] = nil[T]
9 then root[T] ← x
10 else if y = left[p[y]]
11 then left[p[y]] ← x
12 else right[p[y]] ← x
13 if y ≠ z
14 then key[z] ← key[y]
15 copy y's satellite data into z
16 if color[y] = BLACK
17 then RB-DELETE-FIXUP(T, x)
18 return y

这里要注意这个nil[T]是表示叶节点，与NULL不同，这是个实实在在的对象，表示叶子节点（黑色）

记住：y是要被删除的节点，y可能为z或者z的后继， x是y的儿子节点，x可能等于nil[T](非NULL)，当y被删除后，x会替换到y的位置，这点对理解代码很重要

y被从树上断开（删除）后，只有在y节点是黑色的时候，红黑树的属性：路径黑节点数相同，会发生变化：

if color[y] = BLACK

RB-DELETE-FIXUP(T, x)

y节点是红色的时候，删除y，红黑树的性质不会发生变化。

RB-DELETE-FIXUP(T, x) 的伪代码：

1 while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK
2 do if x = left[p[x]]
3 then w ← right[p[x]]
4 if color[w] = RED
5 then color[w] ← BLACK ▹ Case 1
6 color[p[x]] ← RED ▹ Case 1
7 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 1
8 w ← right[p[x]] ▹ Case 1
9 if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK
10 then color[w] ← RED ▹ Case 2
11 x ← p[x] ▹ Case 2
12 else if color[right[w]] = BLACK
13 then color[left[w]] ← BLACK ▹ Case 3
14 color[w] ← RED ▹ Case 3
15 RIGHT-ROTATE(T, w) ▹ Case 3
16 w ← right[p[x]] ▹ Case 3
17 color[w] ← color[p[x]] ▹ Case 4
18 color[p[x]] ← BLACK ▹ Case 4
19 color[right[w]] ← BLACK ▹ Case 4
20 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 4
21 x ← root[T] ▹ Case 4
22 else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)
23 color[x] ← BLACK

进入正题，上面这段代码很简练，意思就是：

一、x是红色，比较容易办，由于删除了一个y是黑色，所以直接将x涂成黑色，即可保持红黑树的性质，只执行第23行即可

二、x是黑色，x是根节点，显然什么也不用干，这颗树还是红黑树，代码只执行第23行

三、x是黑色，x不是根节点，才执行do操作

进入case前，先理一下删除节点的代码，本来x=y.child，y被删除，x就替换到y的位置，那么原来通往x的路径上就少了一个黑节点，我们就想办法在这条路径上增加一个节点并涂黑色（通过旋转实现，旋转可以在某条路径上增加一个节点），或者在其他的路径（兄弟节点路径）上也修改一个节点的颜色（黑->红），来达到红黑树的路径黑节点数目相同的性质，原理是这样，为达目标也不是这么简单，具体通过以下case来实现。

先引用一张靓图，出自：http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6109153

case1：x是黑色，x的兄弟w是红色

操作：

color[w] ← BLACK ▹ Case 1
color[p[x]] ← RED ▹ Case 1
LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 1
w ← right[p[x]] ▹ Case 1

说明：

由于在x处原来有个黑的y被删除，导致从B->A就少一个黑节点，再看兄弟节点D点是红色，B一定是黑色，所以没法直接通过改变颜色来维持红黑树的性质了，必须通过旋转来改变路径上的节点数才可能维持红黑性质，怎么旋呢？旋转x的父节点，而且往删除节点的方向去旋转，这样旋转后在删除的那个方向的路径上会多一个节点，然后将多出的节点着一个黑色，就可以使这个路径上的黑节点数平衡，但是可能在旋转点的另一路径上会破坏平衡，所以需要在调整节点后继续循环处理。

1、先考虑直接左旋转B点，旋转后B->C黑节点数未变，但是D->E路径黑节点数会少1，所以不行，而且D节点为红色，旋转后可能会与D的父节点颜色冲突。

2、所以先将D变黑，再旋转，旋转后就不会导致与性质4冲突，D变黑，D节点（黑色）与其父节点的颜色就不会冲突，而且旋转后从D到X节点的黑节点数也恢复到删除前的数量了，但是，仔细看看D->C的路径上黑节点数，多了一个，所以还需要继续往下处理。

3、为了维持性质5，接下来要么将B涂红，要么将C涂红，能将C涂红吗？目测好像可以，但是改变C的颜色后又要判断C的儿子节点是不是红的，如此下去，过于麻烦了。

4、所以将B涂红，将B涂红，与C的颜色不冲突。而且这样会将树转换为了case2或者case3或者case4的状态了，将B涂红后，D到X节点路径的黑节点又回到了删除状态时的样子(即少一个黑节点数)，故继续进入其他case。

5、w ← right[p[x]] 加上这句就可以不用循环就直接其他case（因为w是黑的），去掉这句然代码多循环一次，进入其他case也行。

综上说明，case1操作后仅仅是在删除节点的路径上增加了一个红节点（意味着在这条路径上图黑一个节点就可以达到黑节点数平衡），并未恢复红黑树的性质5，黑节点数和未调整时时一样的（比删除前原树小1），经过这次调整后树状态转换为case2或者case3或者case4。

case2，x是黑色，x的兄弟w是黑色，并且兄弟的2子均为黑色

显然，将x的兄弟的黑图成红，即可在兄弟路径上的黑节点数减少一个，达到与x路径的黑节点数一致（由于删除的y是黑色），但是这个调整可能破环性质4（x的父是红色时），故修改x为x的父，再次进入循环，进入循环后，如果x原来是红色，则执行23行，将x图黑（+1黑），即恢复了所有红黑性质，退出；如果x为黑色，需要继续处理直到将黑节点数的性质恢复，这个时候可能进入任何一个case。

case3，x是黑色，x的兄弟w是黑色，并且兄的右子为黑色（左子一定是红色）

先来直接图色看能不能恢复黑节点数性质，显然需要将D图红，D的左子C必须图黑，那么B->E黑节点数少一个将与X路径上一致，但是B->C路径的黑节点数未变化，故以D节点来一次右旋，由于此时C为黑色，D为红色，所有在在B的右孩子的所有路径上的所有黑节点数与进行case操作前是一致的，这样做的好处就是在B的右边孩子路径上会多一个节点，为case4的左旋（为B的左孩子多一个节点）打下了基础；仔细观察，这次操作后，树状图转换为了case4。

case4，x是黑色，x的兄弟w是黑色，并且兄的右子为红色（左子颜色不定）

这个直接进行一次如下操作

color[w] ← color[p[x]] ▹ Case 4
color[p[x]] ← BLACK ▹ Case 4
color[right[w]] ← BLACK ▹ Case 4
LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 4

所有红黑性质都修复，设置x ← root[T]，退出循环。

D->A黑节点数多一，和删除y以前的数量一致

D->C，D->E的黑节点数未变化

总结：删除的修复主要是在删除节点的路径上通过旋转来增加一个节点，然后再在这条路径上图黑一个节点，就修复了由于删除一个黑节点而引起的黑节点数不平衡的性质破环。

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