*POJ 3417 - Network(LCA + 树形DP)

题目：

http://poj.org/problem?id=3417

题意：

给出一棵有n个节点的树，新加入m条边，求出断开一条旧边和一条心边，使得图变成两个连通块的方案数。

思路：

（摘抄）

我们知道，这m条边连上后这颗树必将成环，假设新边为（u，v），那么环为u---->LCA(u,v)------->v-------->u，我们给这个环上的边计数1，表示这些边被一个环覆盖了一次。添加了多条新边后，可知树上有些边是会被多次覆盖的，画图很容易发现，但一个树边被覆盖了2次或以上，它就是一条牢固的边，就是说毁掉它再毁掉任何一条新边都好，树都不会断裂，这个结论也是很容易证明的，画图更明显，所以不累述

所以这启发了我们，要统计所有的边被覆盖了几次，我们分情况来讨论

1.覆盖0次，说明这条边不在任何一个环上，这样的边最脆弱，单单是毁掉它就已经可以使树断裂了，这时候只要任意选一条新边去毁，树还是断裂的，所以这样的树边，就产生m种方案（m为新边条数）

2.覆盖1次，说明这条边在一个环上，且，仅在一个环上，那么要使树断裂，就毁掉这条树边，并且毁掉和它对应的那条新边（毁其他的新边无效），就一定能使树断裂，这种树边能产生的方案数为1，一条这样的树边只有唯一解

3.覆盖2次或以上，无论怎么样都不能使树断裂，产生的方案数为0

 

所以，如果我们能知道所有的树边的覆盖，那么统计一次就行了，所以问题只剩下，怎么每条边被覆盖了几次？

需要用到树DP。

首先我们定义dp[u]的意义为，u所对应的那条父边（u和它父亲连接的那条边）被覆盖的次数

对应一条新边（u，v），我们知道是要求LCA(u,v)的，这时候我们计数dp[u]++ , dp[v]++ , dp[lca]-=2

为什么这样计数？我们试着看看，点u和点v和点lca，都试着沿路径一直回到树根处（注意不是回到LCA而是树根），u的路径中每经过一个点，就将这些点上的值加上dp[u],同样v的路径上没经过一个点就将这些点上的值加上dp[v]，lca也是这样。你会发现，lca回到树根的部分，其实被抵消掉了，dp值没有变化，而u到lca，v到lca部分的值都已经分别加上了dp[u],dp[v]

这启发了我们，我们在求完所有m对顶点的LCA后，每个u和v都做一次dp[u]++,dp[v]++,dp[lca]-=2，然后我从树根开始向下遍历一次整棵树，在回溯的时候就执行累加dp[u],dp[v]的操作

AC.

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;const int maxn = 1e5+5;int n, m;int dp[maxn];int tot, head[maxn];struct Edge {    int to, next;}edge[2*maxn];void addedge(int u, int v){    edge[tot].to = v;    edge[tot].next = head[u];    head[u] = tot++;}int tt, h[maxn];struct New {    int to, id, next;}newg[2*maxn];void addnew(int u, int v, int id){    newg[tt].to = v;    newg[tt].id = id;    newg[tt].next = h[u];    h[u] = tt++;}int par[maxn];int find(int x){    if(par[x] == x) return x;    return par[x] = find(par[x]);}int vis[maxn], lca[maxn], res[maxn];void Tarjan(int u){    vis[u] = 1;    for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {        int v = edge[i].to;        if(!vis[v]) {            Tarjan(v);            par[v] = u;        }    }    for(int i = h[u]; ~i; i = newg[i].next) {        int v = newg[i].to, id = newg[i].id;        if(vis[v]) {            res[id] = find(v);        }    }}void dfs(int u){    vis[u] = 1;    for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {        int v = edge[i].to;        if(!vis[v]) {            dfs(v);            dp[u] += dp[v];        }    }}void init(){    tot = 0;    memset(head, -1, sizeof(head));    tt = 0;    memset(h, -1, sizeof(h));    memset(dp, 0, sizeof(dp));    memset(vis, 0, sizeof(vis));    for(int i = 1; i <= n; ++i) par[i] = i;}int main(){    //freopen("in", "r", stdin);    while(~scanf("%d %d", &n, &m)) {        init();        int u, v;        for(int i = 0; i < n-1; ++i) {            scanf("%d %d", &u, &v);            addedge(u, v);            addedge(v, u);        }        for(int i = 0; i < m; ++i) {            scanf("%d %d", &u, &v);            dp[u]++; dp[v]++;            addnew(u, v, i);            addnew(v, u, i);        }        Tarjan(1);        for(int i = 0; i < m; i++) {            int lca = res[i];            dp[lca] -= 2;        }        memset(vis, 0, sizeof(vis));        dfs(1);        int ans = 0;        for(int i = 2; i <= n; ++i) {            if(dp[i] == 1) ans++;            if(dp[i] == 0) ans += m;        }        printf("%d\n", ans);    }    return 0;}