62. Unique Paths

算法1：最容易想到的是递归解法，uniquePaths(m, n) = uniquePaths(m, n-1) + uniquePaths(m-1, n)，递归结束条件是m或n等于1，这个方法oj超时了。代码如下：

class Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        if(m == 1 || n == 1)return 1;        else return  uniquePaths(m, n - 1) + uniquePaths(m - 1, n);    }};

算法2：动态规划，算法1的递归解法中，其实我们计算了很多重复的子问题，比如计算uniquePaths(4, 5) 和 uniquePaths(5, 3)时都要计算子问题uniquePaths(3, 2)，再者由于uniquePaths(m, n) = uniquePaths(n, m)，这也使得许多子问题被重复计算了。要保存子问题的状态，这样很自然地就想到了动态规划方法，设dp[i][j] = uniquePaths(i, j)， 那么动态规划方程为：

• dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
• 边界条件：dp[i][1] = 1, dp[1][j] = 1

代码如下：

class Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        vector<vector<int> > dp(m+1, vector<int>(n+1, 1)); //注意这种初始化方法的使用        for(int i = 2; i <= m; i++)            for(int j = 2; j <= n; j++)                dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];        return dp[m][n];    }};

上述过程是从左上角开始，逐行计算到达每个格子的路线数目，由递推公式可以看出，到达当前格子的路线数目和两个格子有关：1、上一行同列格子的路线数目；2、同一行上一列格子的路线数目。据此我们可以优化上面动态规划方法的空间:

class Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        vector<int>dp(n+1, 1);        for(int i = 2; i <= m; i++)            for(int j = 2; j <= n; j++)                dp[j] =  dp[j] + dp[j-1]; //第一个dp[j]代表到达第i行第j列格子的路线数目，第二个dp[j]代表到达第i-1行第j列格子的路线数目，dp[j-1]代表到达第i行第j-1列格子的路线数目。        return dp[n];    }};

算法3：其实这个和组合数有关，对于m*n的网格，从左上角走到右下角，总共需要走m+n-2步，其中必定有m-1步是朝右走，n-1步是朝下走，那么这个问题的答案就是组合数：, 这里需要注意的是求组合数时要防止乘法溢出。

class Solution {public:    int uniquePaths(int m, int n) {        return combination(m+n-2, m-1);    }        int combination(int a, int b)    {        if(b > (a >> 1))b = a - b;        long long res = 1;        for(int i = 1; i <= b; i++)            res = res * (a - i + 1) / i;        return res;    }};