poj - 1185 炮兵阵地 状压DP 解题报告

炮兵阵地

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Description

司令部的将军们打算在N*M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N*M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用"H" 表示），也可能是平原（用"P"表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示： 

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。 
现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。 

Input

第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M； 
接下来的N行，每一行含有连续的M个字符('P'或者'H')，中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N <= 100；M <= 10。

Output

仅一行，包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

Sample Input

5 4PHPPPPHHPPPPPHPPPHHP

Sample Output

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题解：

    如果用 dp[i]表示前i行所能放的最多炮兵数目， 能否形成递推关系？ 显然不能。因为不满足无后效性。

    按照加限制条件加维度的思想，加个限制条件：dp[i][j]表示第i行的炮兵布局为j的前提下，前i行所能放的最多炮兵数目布局为j体现了状态压缩。j是个10位二进制数，表示一行炮兵的一种布局。有炮兵的位置，对应位为1，没有炮兵的位置，对应位为0。依然不满足无后效性。因仅从 dp[i-1][k] (k = 0…1024) 无法推出dp[i][j]。达成 dp[i-1][k]可能有多种方案，有的方案允许第i行布局为j,有的方案不允许第i行布局为j，然而却没有信息可以用来进行分辨。

    再加限制条件，再加一维：dp[i][j][k]表示第i行布局为j,第i-1行布局为k时,前i行的最多炮兵数目。

    1）j,k这两种布局必须相容。否则 dp[i][j][k] = 0

    2) dp[i][j][k] = max{dp[i-1][k][m], m = 0...1023} + Num(j), Num(j)为布局j中炮兵的数目, j和m必须相容, k和m必须相容。此时满足无后效性。

    3) 初始条件：dp[0][j][0] = Num(j)dp[1][i][j] = max{dp[0][j][0]} + Num(i)

    问题：dp数组为：int dp[100][1024][1024], 太大，时间复杂度和空间复杂度都太高。

    解决：每一行里最多能放4个炮兵。就算全是平地，能放炮兵的方案数目也不超过60(用一遍dfs可以全部求出）算出一行在全平地情况下所有炮兵的排列方案，存入数组 state[70]int dp[100][70][70] 足矣。dp[i][j][k]表示第i行布局为state[j],第i-1行布局为state[k]时,前i行的最多炮兵数目。

参考代码：

#include <cstdio>#include <iostream>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int N = 105;int Map[N];int dp[N][65][65];   int s[N], num[N];int n, m, p;bool check(int x) {       if(x & (x >> 1)) return false;    if(x & (x >> 2)) return false;    return true;}int Count(int x) {       int i = 1, ans = 0;    while(i <= x) {        if(x & i) ans++;        i <<= 1;    }    return ans;}void Init() {    p = 0;    memset(s, 0, sizeof(s));    memset(num, 0, sizeof(num));    for(int i = 0; i < (1 << m); i++) {          if(check(i)) {            s[p] = i;            num[p++] = Count(i);        }    }}int main() {    char ch;    int T;        scanf("%d%d", &n, &m);        if(!n && !m) {            printf("0\n");        }       else{        memset(dp, 0, sizeof(dp));        memset(Map, 0, sizeof(Map));        for(int i = 0; i < n; i++) {            for(int j = 0; j < m; j++) {                cin >> ch;                if(ch == 'H')                    Map[i] = Map[i] | (1 << (m - 1 - j));  //P为0，H为1            }        }        Init();//        printf("p = %d\n", p);//        for(int i = 0; i < p; i++) {//            printf("s[%d] = %d, num[%d] = %d\n", i, s[i], i, num[i]);//        }        for(int i = 0; i < p; i++) {              if(!(Map[0] & s[i]))                dp[0][i][0] = num[i];        }        for(int i = 0; i < p; i++) {               if(!(Map[1] & s[i])) {                for(int j = 0; j < p; j++) {                    if((!(s[i] & s[j]))) {                        dp[1][i][j] = max(dp[1][i][j], dp[0][j][0] + num[i]);                    }                }            }        }        for(int r = 2; r < n; r++) {               for(int i = 0; i < p; i++) {                   if(!(s[i] & Map[r])) {                    for(int j = 0; j < p; j++) {                          if(!(s[j] & Map[r-1])) {                            if(!(s[i] & s[j])) {                                for(int k = 0; k < p; k++) {                                      if(!(s[k] & Map[r-2])) {                                        if(!(s[j] & s[k])) {                                            if(!(s[i] & s[k])) {                                                dp[r][i][j] = max(dp[r][i][j], dp[r-1][j][k] + num[i]);                                            }                                        }                                    }                                }                            }                        }                    }                }            }        }        int ans = 0;        for(int i = 0; i < p; i++) {            for(int j = 0; j < p; j++) {                if(ans < dp[n-1][i][j])                    ans = dp[n-1][i][j];            }        }        printf("%d\n", ans);    }    return 0;}