通讯网路问题

MCM1994B  通讯网络问题

在你的公司里各部门每天都要分享信息，包括前一天的销售统计和当前的生产指南，尽快付出这些信息是十分重要的。

假定一个通讯网络用于从一台计算机向另一台计算机传输数据组（文件），作为例子，考虑如图A-13的图模型。

顶点V1.....表示计算机，边e1.....表示（在有边的顶点表示的计算机之间）要传输的文件，T(ex)表示传输文件ex所需的时间，C(Vv)表示计算机Vv可同时传输的文件的能力（指文件的数量），文件传输必须占用传输该文件的两台计算机所需的全部时间，例如，C(Vv)=1表示计算机Vv一次只能传输一个文件。

我们感兴趣的是以最优方式安排传输，使得传输完所有文件所用的总时间最少，这个最少的总量间称为完工时间（makespan）。为你的公司考虑下面的情况。

情况A

你的公司有28个部门，每个部门有一台计算机，每台计算机在图A-14中用一个顶点表示，每天必须传输27个文件，在图A-14中用边表示，在这个网络中对所有的x和y，T(ex)=1,，C(Vv)=1,找出该网络的一个最优时间表和相应的完工时间，你能向你的主管人员证明，对该网络你求得的完工时间是最小可能的吗？叙述你求解该问题的方法，你的方法适用于一般情形吗？即是否适用于T(ex),C(Vv)及图的结构都任意的情形？

分析：对图A-14来说：每台计算机只能传输一个文件，且所需时间都相等为1；

只能传输一个文件即比如，选V15和V16之间传输文件，就要把与V15和V16相连的边删掉，即可转化为找对集问题

也就是问题就可转化为第一个一分钟要传输那些文件，第二个一分钟要传那些文件，。。。。

只有当前的一份钟传的东西足够多才能花费的时间越少。（贪婪算法）

因此算法步骤为：就是每次要找最大对集，找完之后一份钟后文件传完，就要把这些边删掉，重新再剩下的边中再找最大对集，直到没有边为止。

但是如果是这种情况：

先找最大对集，如图所示：这是需要花费1+1+1+1+1=5，然而我们可以找到4分钟，就是要让对集里面包括度数大的节点，然后把这两个影响因素（1边数，2边和最大度关联）融合在一起，方法：给度数的的点赋权值，比如1.04等等（要求要足够小，比1大就行，太大不行）

情况B

假定你的公司改变了传输要求，你必须在相同的基本网络（见图A-14）上考虑不同类型和大小的文件，传输这些文件所需的时间用表A-8中每条边的表示，对全部y仍有T（ex)=1对新网络找出一个最优时间表及其完工时间，你能证明对新网络求得的完工时间是最小可能的吗？叙述你求解该问题的方法，你的方法适用于一般情形吗？试对任何特有的或出乎意料的结果发表评论。

分析：此时不同的是文件传输时间不一样，即权值不一样，还是贪婪算法，先传输费时间的文件，这时把其他文件传完这个文件还没传完，这是需要在剩下的文件中找带权值的最大对集（要保证还没传完的必须包含在里面）。依次类推即可。

情况C

你的公司正在考虑扩展业务，如果扩展了的话，每天会有一些新的文件（边）要传输，这种扩展还包括计算机系统的升级换代，28个部门中的某些部门将配备每次能传输不止一个文件的新的计算机，所有这些变化都在图A-15和表A-9、A-10中表明，你能找到的最优时间表及其完工时间是什么？你能证明对该网络求得的完工时间是最小可能的吗？叙述你求解该问题的方法，试对任何特有的或出乎意料的结果发表评论。

分析：这个与前面不同的是，每个计算机的传输能力不一样，即一台计算机可以同时传好几个文件，受到人员指派中选辅导班的启发，我们应该这样做，假设vk计算机可同是传k份，就把这个计算机复制k个，转化为一对一问题，然后用前面的方法找带权值的最大对集即可。

    做出答案后可以证明其是不是最优的方法：

举例说明：比如是这个图（只能传一份）
           

根据这个图，可得这3个7  只能传一个，比如最上面的7，只有把这个7传完后才能穿上面的9（可以和别的7一起传），而且3个7分别要传，至少要花费7* 2+9=23分，只要你的算法算出是23分，就一定是最优的，这就是所谓的用结果证明结果。