n的m划分 dp

 

计数问题的dp。

 

将n个无区别的物品，划分成不超过m组，求划分数。

如n=4,m=3，结果是4（1+1+2=1+3=2+2=4）

 

设dp[i][j]表示i的j划分，dp[i][j]=dp[i-k][j-1]. k∈[1,min(i,j-1)]. 理解为从i个物品中取走k个，剩下的i-k个物品组成j-1种划分。

但是，这个划分是错误的，会造成重复的划分不止记录一次。

 

我们假设n的m划分最后的划分完的情况为ai（∑i=1,m  =n).于是如果ai>0 ，划分就等同于ai-1,也就是n-m的m划分，从每一堆中取出一个。如果ai==0 划分等同于n的m-1划分。

 

于是最终递推关系为：

dp[0][0]=1;

if(i>=j)

  dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i-1][j]

else

  dp[i][j]=dp[i-1][j];

注意这里是将n划分为不超过m组，所以ai=0是存在的

 

#include<iostream>
using namespace std;

int dp[10][10];

int main()
{
 int n,m;
 cin>>n>>m;
 int i,j;
 dp[0][0]=1;
 for(i=0;i<=n;i++)
  for(j=1;j<=m;j++)
   if(i>=j)
    dp[i][j]=dp[i-j][j]+dp[i][j-1];
   else
    dp[i][j]=dp[i][j-1];
 cout<<dp[n][m]<<endl;
 return 0;
}