线段树成段更新及懒散标记

以poj3468为例

给你N个数，Q个操作，操作有两种，‘Q a b ’是询问a~b这段数的和，‘C a b c’是把a~b这段数都加上c。

需要用到线段树的，update:成段增减，query:区间求和

介绍Lazy思想：lazy－tag思想，记录每一个线段树节点的变化值，当这部分线段的一致性被破坏我们就将这个变化值传递给子区间，大大增加了线段树的效率。

在此通俗的解释我理解的Lazy意思，比如现在需要对[a,b]区间值进行加c操作，那么就从根节点[1,n]开始调用update函数进行操作，如果刚好执行到一个子节点，它的节点标记为rt，这时tree[rt].l == a && tree[rt].r == b 这时我们可以一步更新此时rt节点的sum[rt]的值，sum[rt] += c * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1)，注意关键的时刻来了，如果此时按照常规的线段树的update操作，这时候还应该更新rt子节点的sum[]值，而Lazy思想恰恰是暂时不更新rt子节点的sum[]值，到此就return，直到下次需要用到rt子节点的值的时候才去更新，这样避免许多可能无用的操作，从而节省时间 。

下面通过具体的代码来说明之。（此处的函数名和宏学习了小HH的代码风格）

在此先介绍下代码中的函数说明：

#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1

宏定义左儿子lson和右儿子rson，貌似用宏的速度要慢。

PushUp(rt)：通过当前节点rt把值递归向上更新到根节点

PushDown(rt)：通过当前节点rt递归向下去更新rt子节点的值

rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点

__int64 sum[N<<2],add[N<<2];struct Node{    int l,r;    int mid()    {        return (l+r)>>1;    }} tree[N<<2];

这里定义数据结构sum用来存储每个节点的子节点数值的总和，add用来记录该节点的每个数值应该加多少

tree[].l tree[].r分别表示某个节点的左右区间，这里的区间是闭区间

下面直接来介绍update函数，Lazy操作主要就是用在这里

void update(int c,int l,int r,int rt)//表示对区间[l,r]内的每个数均加c，rt是根节点{    if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)    {        add[rt] += c;        sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);        return;    }    if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;    PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);    int m = tree[rt].mid();    if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);    else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);    else    {        update(c,l,m,rt<<1);        update(c,m+1,r,rt<<1|1);    }    PushUp(rt);}

if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 这里就是用到Lazy思想的关键时刻 正如上面说提到的，这里首先更新该节点的sum[rt]值，然后更新该节点具体每个数值应该加多少即add[rt]的值，注意此时整个函数就运行完了，直接return，而不是还继续向子节点继续更新，这里就是Lazy思想，暂时不更新子节点的值。

那么什么时候需要更新子节点的值呢？答案是在某部分update操作的时候需要用到那部分没有更新的节点的值的时候，这里可能有点绕口。这时就掉用PushDown()函数更新子节点的数值。

void PushDown(int rt,int m){    if(add[rt])    {        add[rt<<1] += add[rt];        add[rt<<1|1] += add[rt];        sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));        sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);        add[rt] = 0;//更新后需要还原    }}

PushDown就是从当前根节点rt向下更新每个子节点的值，这段代码读者可以自己好好理解，这也是Lazy的关键。

接着就是update操作的三个if语句了，这里我曾经一直不理解，多亏nyf队友的指点，借此感谢之。

下面再解释query函数，也就是用这个函数来求区间和

__int64 query(int l,int r,int rt){    if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)    {        return sum[rt];    }    PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);    int m = tree[rt].mid();    __int64 res = 0;    if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);    else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);    else    {       res += query(l,m,rt<<1);       res += query(m+1,r,rt<<1|1);    }    return res;}

第一个if还是区间的判断和前面update的一样，到这里就可以知道答案了，所以就直接return。

接下来的查询就需要用到rt子节点的值了，由于我们用了Lazy操作，这段的数值还没有更新，因此我们需要调用PushDown函数去更新之，满足if(add[rt])就说明还没有更新。

poj3468

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;const int N = 100005;#define lson l,m,rt<<1#define rson m+1,r,rt<<1|1__int64 sum[N<<2],add[N<<2];struct Node{    int l,r;    int mid()    {        return (l+r)>>1;    }} tree[N<<2];void PushUp(int rt){    sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];}void PushDown(int rt,int m){    if(add[rt])    {        add[rt<<1] += add[rt];        add[rt<<1|1] += add[rt];        sum[rt<<1] += add[rt] * (m - (m>>1));        sum[rt<<1|1] += add[rt] * (m>>1);        add[rt] = 0;    }}void build(int l,int r,int rt){    tree[rt].l = l;    tree[rt].r = r;    add[rt] = 0;    if(l == r)    {        scanf("%I64d",&sum[rt]);        return ;    }    int m = tree[rt].mid();    build(lson);    build(rson);    PushUp(rt);}void update(int c,int l,int r,int rt){    if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r)    {        add[rt] += c;        sum[rt] += (__int64)c * (r-l+1);        return;    }    if(tree[rt].l == tree[rt].r) return;    PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);    int m = tree[rt].mid();    if(r <= m) update(c,l,r,rt<<1);    else if(l > m) update(c,l,r,rt<<1|1);    else    {        update(c,l,m,rt<<1);        update(c,m+1,r,rt<<1|1);    }    PushUp(rt);}__int64 query(int l,int r,int rt){    if(l == tree[rt].l && r == tree[rt].r)    {        return sum[rt];    }    PushDown(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);    int m = tree[rt].mid();    __int64 res = 0;    if(r <= m) res += query(l,r,rt<<1);    else if(l > m) res += query(l,r,rt<<1|1);    else    {       res += query(l,m,rt<<1);       res += query(m+1,r,rt<<1|1);    }    return res;}int main(){    int n,m;    while(~scanf("%d %d",&n,&m))    {        build(1,n,1);        while(m--)        {            char ch[2];            scanf("%s",ch);            int a,b,c;            if(ch[0] == 'Q')            {                scanf("%d %d", &a,&b);                printf("%I64d\n",query(a,b,1));            }            else            {                scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);                update(c,a,b,1);            }        }    }    return 0;}