置换群的整幂运算【置换群】

置换群的整幂运算

定理及结论：

1.在置换群中有一个定理：设T^k = e(T 为一置换，e为单位置换（单位置换:映射函数为f(x) = x 的置换)),那么k的最小正整数解是T 的拆分的所有循节长度的最小公倍数.

2.设 T^k = e( T 为一循环，e为单位置换)，那么k的最小正整数解为 T 的长度.

3.单位置换就是若干个只含单个元素的循环的并,也就是说,长度为 L 的循环, L 次的幂(T ^ L)，把所有元素都完全分裂了.

推论过程：

假设T = (2,3,1,5,6,4),则长度 n = 6, T^6 = (T^2)^3;

先将T 进行映射,(2 -> 3, 3 -> 1, 1 -> 5, 5 -> 6, 6 -> 4, 4  -> 2)得到T'，然后将 T'进行排序得到 T.

可以看出T^2 刚好将 T 分成循环节长度为3的两份,并且每一个循环节所包含的的数都是T 的奇数项上的数或者偶数项上的数！

可以看出T^3 刚好将 T 分成循环节长度为2的三份,并且每一个循环节所包含的的数都是T中项数 mod 3  = （0,1,2）项上的数！

与前面有所不同的是T^4 并没有按预期将 T 分成4份，只分成循环节长度为3的两份，并且每一个循环节所包含的的数都是 T 的奇数项上的数或者偶数项上的数！

可以看出T^5 并没有将 T 分裂成5份,仅仅只是改变了 T 的顺序！

根据置换群中的定理1可知循环的分裂程度与gcd(k,l) 有关！(l为循环长度,k为多少次幂)

从上述推论过程可以得出 gcd(6,6) = 6,因此可以将循环分成6份,gcd(2,6) = 2,gcd(3,6) = 3,gcd(4,6) = 2,gcd(5,6) = 1也一一与推论中的结果对应！

结论：

1.一个长度为L的循环T,如果L是k的倍数,则T^k是k个循环的乘积,每个循环中所包含的元素分别是T中下标i mod k = 0,1,2...的数.

2.一个长度为L的循环T,如果 gcd(k,l) = 1,T^k循环不一定与T相同;

3.一个长度为L的循环T,T^k是 gcd(k,l) 个循环的乘积,每个循环中所包含的元素分别是T中下标i mod gcd(k,l) = 0,1,2...的数.

ps：大量参考和引用 潘震皓《置换群快速幂运算 研究与探讨》的国家集训队论文，具体实例及证明请参考原文！