最短路算法

最短路径问题旨在寻找图中两节点之间的最短路径，常用的算法有以下四种。注意是把图处理成无向还是有向

Dijkstra’s (权值非负)
1 Dijkstra’s算法解决的是图中单个源点到其它顶点的最短路径。只能解决权值非负
2 Dijkstral只能求出任意点到达源点的最短距离（不能求出任意两点之间的最短距离），同时适用于有向图和无向图，复杂度为O(n^2).
3算法的过程：
1设置顶点集合S并不断的作贪心选择来选择扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源点到该点的最短路径长度已知
2 初始时，S中仅含有源。设U是G的某一个顶点，把从源到U且中间只经过S中的顶点的路称为从源到U的特殊路径，并用dis数组距离当前每一个顶点所对应的最短特殊路径
3Dijkstra算法每一次从V-S中取出具有最短特殊长度的顶点u，将u添加到S中，同时对dis数组进行修改。一旦S包含了所有的V中的顶点，dis数组就记录了从源点到其它顶点的最短路径长度。
4 模板:
没有优化，时间复杂度o(n^2)

#define MAXN 1010       #define INF 0xFFFFFFF       int  value[MAXN][MAXN];/*保存的是边权值*/      int  dis[MAXN]；/*保存源点到任意点之间的最短路*/      int  father[MAXN];/*保存i点的父亲节点*/      int  vis[MAXN];/*记录顶点是否没取过*/       void input(){                 int star , end , v;            scanf("%d%d" , &n , &m);            /*初始化value数组*/           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){               for(int j = 1; j <= n ; j++)                   value[i][j] = INF;           }          for(int i = 0 ; i < m ; i++){              scanf("%d%d%d" ,  &star , &end , &v);              if(value[star][end] == INF)                  value[star][end] = value[end][star] = v;/*处理成无向图*/              else{                  if(v < value[star][end])/*判断重边是否出现*/                       value[star][end] = value[end][star] = v;              }      }      void dijkstra(int s){           memset(vis , 0 , sizeof(vis));           memset(father , 0 , sizeof(father));           /*初始化dis数组*/           for(int i = 1 ; i<= n ; i++)                dis[i] = INF;           dis[s] = 0;           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){/*枚举n个顶点*/              int pos;              pos = -1;              for(int j = 1 ; j <= n ;j++){/*找到未加入集合的最短路点*/                 if(!vis[j] && (pos == -1 || dis[j] < dis[pos]))                    pos = j;              }              vis[pos] = 1;/*把这个点加入最短路径集合*/              for(int j = 1 ; j <= n ; j++){/*更新dis数组*/                 if(!vis[j] && (dis[j] > dis[pos] + value[pos][j])){                   dis[j] = dis[pos] + value[pos][j];                   father[j] = pos;                 }              }           }      }

#define MAXN 1010      #define INF 0xFFFFFFF      int  value[MAXN][MAXN];/*保存的是边权值*/      int  dis[MAXN]；/*保存源点到任意点之间的最短路*/      int  father[MAXN];/*保存i点的父亲节点*/      int  vis[MAXN];/*记录顶点是否没取过*/       void input(){                 int star , end , v;            scanf("%d%d" , &n , &m);            /*初始化value数组*/           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){               for(int j = 1; j <= n ; j++)                   value[i][j] = INF;           }          for(int i = 0 ; i < m ; i++){              scanf("%d%d%d" ,  &star , &end , &v);              if(value[star][end] == INF)                  value[star][end] = value[end][star] = v;/*处理成无向图*/              else{                  if(v < value[star][end])/*判断重边是否出现*/                       value[star][end] = value[end][star] = v;              }      }      void dijkstra(int s){           memset(vis , 0 , sizeof(vis));           memset(father , 0 , sizeof(father));           /*初始化dis数组*/           for(int i = 1 ; i<= n ; i++)                dis[i] = INF;           dis[s] = 0;           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){/*枚举n个顶点*/              int pos;              pos = -1;              for(int j = 1 ; j <= n ;j++){/*找到未加入集合的最短路点*/                 if(!vis[j] && (pos == -1 || dis[j] < dis[pos]))                    pos = j;              }              vis[pos] = 1;/*把这个点加入最短路径集合*/              for(int j = 1 ; j <= n ; j++){/*更新dis数组*/                 if(!vis[j] && (dis[j] > dis[pos] + value[pos][j])){                   dis[j] = dis[pos] + value[pos][j];                   father[j] = pos;                 }              }           }      }  

优化过的，时间复杂度为o(mlogn);      /*利用邻接表来优化*/      #include<utility>        typedef pair<int , int>pii;/*pair专门把两个类型捆绑在一起的*/      priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q;/*优先队列默认使用“<”，那么优先队列的元素是从大到小，所以自己定义“>”比较，STL中可以用greater<int>来表示">"，这样就可以来声明一个小整数先出队的优先队列*/      #define MAXN 1010       #define INF 0xFFFFFFF       int n , m;/*有n个点，m条边*/      int first[MAXN] , next[MAXN];/*first数组保存的是节点i的第一条边，next保存的是边e的下一条边*/      int u[MAXN] , v[MAXN] , value[MAXN];      int vis[MAXN];      int dis[MAXN];      /*读入这个图*/      void input(){           scanf("%d%d" , &n , &m);           /*初始化表头*/           for(int i = 1 ; i <= n ; i++)              first[i] = -1;           for(int i = 1 ; i <= m ; i++){              scanf("%d%d" , &u[i] , &v[i] , &value[i]);                     next[i] = first[u[i]];/*表头往后移动*/              first[u[i]] = i;/*更新表头*/           }      }      /*Dijkstra*/      void Dijkstra(int s){           memset(vis , 0 , sizeof(vis));           /*初始化点的距离*/           for(int i = 1 ; i <= n ; i++)                dis[i] = INF;          dis[s] = 0;           while(!q.empty())              q.pop();           q.push(make_pair(dis[s] , s));           while(!q.empty()){                pii u = q.top();                q.pop();                int x = u.second;                if(vis[x])                  continue;                 vis[x] = 1;                for(int i = first[x] ; i != -1 ; i = next[i]){                   if(dis[v[e]] > dis[x] + value[i]){                      dis[v[i]] = dis[x] + value[i];                      q.push(make_pair(dis[v[i] , v[i]));                   }                }           }      }  

优化过的，时间复杂度为o(mlogn);      /*利用邻接表来优化*/      #include<utility>       typedef pair<int , int>pii;/*pair专门把两个类型捆绑在一起的*/      priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q;/*优先队列默认使用“<”，那么优先队列的元素是从大到小，所以自己定义“>”比较，STL中可以用greater<int>来表示">"，这样就可以来声明一个小整数先出队的优先队列*/      #define MAXN 1010      #define INF 0xFFFFFFF      int n , m;/*有n个点，m条边*/      int first[MAXN] , next[MAXN];/*first数组保存的是节点i的第一条边，next保存的是边e的下一条边*/      int u[MAXN] , v[MAXN] , value[MAXN];      int vis[MAXN];      int dis[MAXN];      /*读入这个图*/      void input(){           scanf("%d%d" , &n , &m);           /*初始化表头*/           for(int i = 1 ; i <= n ; i++)              first[i] = -1;           for(int i = 1 ; i <= m ; i++){              scanf("%d%d" , &u[i] , &v[i] , &value[i]);                     next[i] = first[u[i]];/*表头往后移动*/              first[u[i]] = i;/*更新表头*/           }      }      /*Dijkstra*/      void Dijkstra(int s){           memset(vis , 0 , sizeof(vis));           /*初始化点的距离*/           for(int i = 1 ; i <= n ; i++)                dis[i] = INF;          dis[s] = 0;           while(!q.empty())              q.pop();           q.push(make_pair(dis[s] , s));           while(!q.empty()){                pii u = q.top();                q.pop();                int x = u.second;                if(vis[x])                  continue;                 vis[x] = 1;                for(int i = first[x] ; i != -1 ; i = next[i]){                   if(dis[v[e]] > dis[x] + value[i]){                      dis[v[i]] = dis[x] + value[i];                      q.push(make_pair(dis[v[i] , v[i]));                   }                }           }      }  

floyd(权值非负)适用于有向图和无向图

1 floyd 的思想就是通过枚举n个点利用DP的思想来更新最短距离的，假设当前枚举到第k个点，那么就有任意的两个点i , j ，如果i k 相连 j k 相连 那么就可以知道这个时候dis[i][j] = min(dis[i][j] , dis[i][k] + dis[k][j]);，那么只要枚举完n个点，那么就说明已经完全更新完所有两点直间的最短路。

2 floyd算法是最简单的最短路径的算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。floyd算法的时间复杂度为o(n^3)，如果是一个没有边权的图，把相连的两点间的距离设为dis[i][j]=1.不相连的两点设为无穷大，用floyd算法可以判断i j两点是否相连。
3 floyd 算法不允许所有的权值为负的回路。可以求出任意两点之间的最短距离。处理的是无向图
4 缺点是时间复杂度比较高，不适合计算大量数据

5 如果dis[i][i] != 0，说明此时存在环。

6 如果利用floyd求最小值的时候，初始化dis为INF ， 如果是求最大值的话初始化为-1.

7 模板：

#define INF 0xFFFFFFF       #define MAXN 1010       int dis[MAXN][MAXN];      /*如果是求最小值的话，初始化为INF即可*/      void init(){           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){              for(int j = 1 ; j <= n ; j++)                   dis[i][j] = INF;              dis[i][i] = 0;           }      }      /*如果是求最大值的话，初始化为-1*/      void init(){           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){              for(int j = 1 ; j <= n ; j++)                   dis[i][j] = -1；           }      }      /*floyd算法*/      void folyd(){              for(int k = 1 ; k <= n ; k++){/*枚举n个点来更新dis*/                  for(int i = 1 ; i <= n ; i++){                      for(int j = 1 ; j <= n ; j++)                        if(dis[i][k] != -1 && dis[j][k] != -1)/*如果在求最大值的时候加上这一句*/                           dis[i][j] = min(dis[i][k]+dis[k][j] , dis[i][j]);                   }              }       }  

 #define INF 0xFFFFFFF      #define MAXN 1010      int dis[MAXN][MAXN];      /*如果是求最小值的话，初始化为INF即可*/      void init(){           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){              for(int j = 1 ; j <= n ; j++)                   dis[i][j] = INF;              dis[i][i] = 0;           }      }      /*如果是求最大值的话，初始化为-1*/      void init(){           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){              for(int j = 1 ; j <= n ; j++)                   dis[i][j] = -1；           }      }      /*floyd算法*/      void folyd(){              for(int k = 1 ; k <= n ; k++){/*枚举n个点来更新dis*/                  for(int i = 1 ; i <= n ; i++){                      for(int j = 1 ; j <= n ; j++)                        if(dis[i][k] != -1 && dis[j][k] != -1)/*如果在求最大值的时候加上这一句*/                           dis[i][j] = min(dis[i][k]+dis[k][j] , dis[i][j]);                   }              }       }  

floyd扩展：

如何用floyd找出最短路径所行经的点： 1 这里要用到另一个矩阵P，它的定义是这样的：p(ij)的值如果为p，就表示i到j的最短行经为i->p…->j，也就是说p是i到j的最短行径中的j之前的第1个点。

2 P矩阵的初值为p(ij) = j。有了这个矩阵之后，要找最短路径就轻而易举了。对于i到j而言找出p(ij)，令为p，就知道了路径i->p….->j；再去找p(pj)，如果值为q，p到j的最短路径为p->q…->j；再去找p(qj)，如果值为r，i到q的最短路径为q>r…->q；所以一再反复，就会得到答案。

3 但是，如何动态的回填P矩阵的值呢？回想一下，当d(ij)>d(ik)+d(kj)时，就要让i到j的最短路径改为走i->…->k->…->j这一条路，但是d(ik)的值是已知的，换句话说，就是i->…->k这条路是已知的，所以i->…->k这条路上k的第一个城市(即p(ik))也是已知的，当然，因为要改走i->…->k->…->j这一条路，p(ij)的第一个城市正好是p(ik)。所以一旦发现d(ij)>d(ik)+d(kj)，就把p(ik)存入p(ij).

4 代码：

int dis[MAXN][MAXN];  int path[MAXN][MAXN];  void floyd(){        int  i, j, k;        /*先初始化化为j*/        for (i = 1; i <= n; i++){             for (j = 1; j <= n; j++)                 path[i][j] = j;        }        for (k = 1; k <= n; k++){/*枚举n个点*/            for (i = 1; i <= n; i++){                for (j = 1; j <= n; j++){                     if (dis[i][j] > dis[i][k]+dis[k][j]){                           path[i][j] = path[i][k];/*更新为path[i][k]*/                           dis[i][j] = dis[i][k]+dis[k][j];                      }                }             }        }  }  

 int dis[MAXN][MAXN];      int path[MAXN][MAXN];      void floyd(){            int  i, j, k;            /*先初始化化为j*/            for (i = 1; i <= n; i++){                 for (j = 1; j <= n; j++)                     path[i][j] = j;            }            for (k = 1; k <= n; k++){/*枚举n个点*/                for (i = 1; i <= n; i++){                    for (j = 1; j <= n; j++){                         if (dis[i][j] > dis[i][k]+dis[k][j]){                               path[i][j] = path[i][k];/*更新为path[i][k]*/                               dis[i][j] = dis[i][k]+dis[k][j];                          }                    }                 }            }      }  

2 floyd求解环中的最小环

1 为什么要在更新最短路之前求最小环：
在第k层循环，我们要找的是最大结点为k的环，而此时Dist数组存放的是k-1层循环结束时的经过k-1结点的最短路径，也就是说以上求出的最短路是不经过k点的，这就刚好符合我们的要求。为什么呢？假设环中结点i,j是与k直接相连，如果先求出经过k的最短路，那么会有这样一种情况，即：i到j的最短路经过k。这样的话就形成不了环 。

2最小环改进算法的证明：
一个环中的最大结点为k(编号最大)，与他相连的两个点为i,j，这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+dis[i][j] (i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径长度)。根据floyd的原理，在最外层循环做了k-1次之后，dist[i][j]则代表了i到j的路径中，所有结点编号都小于k的最短路径, 综上所述，该算法一定能找到图中最小环。

3 为什么还要value数组：
因为dis数组时刻都在变动不能表示出原来两个点之间的距离。

4 形成环至少要有3点不同的点，两个点是不能算环的。
5 代码：

int mincircle = INF;      int dis[MAXN][MAXN];      int value[MAXN][MAXN];      void floyd(){           memcpy(value , dis , sizeof(value));           for(int k = 1 ; k <= n ; k++){                /*求最小环,不包含第k个点*/                for(int i = 1 ; i < k ; i++){/*到k-1即可*/                     for(int j = i+1 ; j < k ; j++)/*到k-1即可*/                         mincircle = min(mincircle , dis[i][j]+value[i][k]+value[k][j]);/*无向图*/                         mincircle = min(mincircle , dis[i][j] +value[i][k]+value[k][j]);/*表示i->k ， k->j有边*/                 }                /*更新最短路*/                for(int i = 1 ; i <= n ; i++){                     for(int j = 1 ; j <= n ; j++)                         dis[i][j] = min(dis[i][k]+dis[k][j] , dis[i][j]);                }           }        }  

int mincircle = INF;      int dis[MAXN][MAXN];      int value[MAXN][MAXN];      void floyd(){           memcpy(value , dis , sizeof(value));           for(int k = 1 ; k <= n ; k++){                /*求最小环,不包含第k个点*/                for(int i = 1 ; i < k ; i++){/*到k-1即可*/                     for(int j = i+1 ; j < k ; j++)/*到k-1即可*/                         mincircle = min(mincircle , dis[i][j]+value[i][k]+value[k][j]);/*无向图*/                         mincircle = min(mincircle , dis[i][j] +value[i][k]+value[k][j]);/*表示i->k ， k->j有边*/                 }                /*更新最短路*/                for(int i = 1 ; i <= n ; i++){                     for(int j = 1 ; j <= n ; j++)                         dis[i][j] = min(dis[i][k]+dis[k][j] , dis[i][j]);                }           }        }  

Bellman_Ford(权值可正可负)，用来判断负环

1 Bellman_Frod可以计算边权为负值的最短路问题，适用于有向图和无向图.用来求解源点到达任意点的最短路。

2 在边权可正可负的图中，环有零环，正环，负环3种。如果包含零环和正环的话，去掉以后路径不会变成，如果包含负环则最短路是不存在的。那么既然不包含负环，所以最短路除了源点意外最多只经过n-1个点，这样就可以通过n-1次的松弛得到源点到每个点的最短路径。

3 时间复杂度o(n*m);
4 如果存在环的话就是经过n-1次松弛操作后还能更新dis数组。
5 模板：

  /*     适用条件：     1单源最短路径     2有向图和无向图     3边权可正可负     */      #define INF 0xFFFFFFF       #define MAXN 1010*2       int dis[MAXN];/*dis[i]表示的是源点到点i的最短路*/      strucu Edge{         int x;         int y;         int value;      }e[MAXN];      /*返回最小值*/      int min(int a , int b){          return a < b ? a : b;      }      /*处理成无向图*/      void input(){           for(int i = 0 ; i < m ; i++){              scanf("%d%d%d" , e[i].x , &e[i].y , &e[i].value);              e[i+m].x = e[i].y;/*注意地方*/              e[i+m].y = e[i].x;/*注意地方*/              e[i+m].value = e[i].value;                     }      }      /*假设现在有n个点，m条边*/      void Bellman_Ford(int s){          /*初始化dis数组*/          for(int i = 1 ; i <= s ; i++)               dis[i] = INF;          dis[s] = 0;          for(int i = 1 ; i < n ; i++){/*做n-1次松弛*/             for(int j = 0 ; j < 2*m ; j++){/*每一次枚举2*m条边，因为是无向图*/                if(dis[e[j].y] > dis[e[j].x] + e[j].value)                 dis[e[j.].y] = dis[e[i].x]+e[j].value;/*更新dis[e[j].y]*/                }             }          }      }  

  /*     适用条件：     1单源最短路径     2有向图和无向图     3边权可正可负     */      #define INF 0xFFFFFFF      #define MAXN 1010*2      int dis[MAXN];/*dis[i]表示的是源点到点i的最短路*/      strucu Edge{         int x;         int y;         int value;      }e[MAXN];      /*返回最小值*/      int min(int a , int b){          return a < b ? a : b;      }      /*处理成无向图*/      void input(){           for(int i = 0 ; i < m ; i++){              scanf("%d%d%d" , e[i].x , &e[i].y , &e[i].value);              e[i+m].x = e[i].y;/*注意地方*/              e[i+m].y = e[i].x;/*注意地方*/              e[i+m].value = e[i].value;                     }      }      /*假设现在有n个点，m条边*/      void Bellman_Ford(int s){          /*初始化dis数组*/          for(int i = 1 ; i <= s ; i++)               dis[i] = INF;          dis[s] = 0;          for(int i = 1 ; i < n ; i++){/*做n-1次松弛*/             for(int j = 0 ; j < 2*m ; j++){/*每一次枚举2*m条边，因为是无向图*/                if(dis[e[j].y] > dis[e[j].x] + e[j].value)                 dis[e[j.].y] = dis[e[i].x]+e[j].value;/*更新dis[e[j].y]*/                }             }          }      }  

SPFA(权值可正可负)，判断负环.
1用来求解单源最短路径，源点到任意点的最短路。
2 算法介绍：建立一个队列q，初始时队列里只有一个起始点，在建立一个数组dis记录起始点到所有点的最短路径，并且初始化这个数组。然后进行松弛操作，用 队列里面的点去刷新起始点到所有点的最短路，如果刷新成功且刷新点不再队列中则把该点加入到队列最后，重复执行直到队列为空。
3 时间复杂度：O(ke),k指的是所有顶点的进队的平均次数，可以证明k<=2，e为边数

4 可以用SPFA来存在是否存在环，如果是的话就是存在一条边的松弛操作大于等于n。
5 模板：

   /*     1 n个点 m条边     2 邻接表存储图: first[i]存储的是节点i的第一条边的编号，nest[i]存储的是编号为i的边的下一条边的编号。     3 star[i]表示编号为i的边的起点，end[i]表示编号为i的边的终点，value[i]表示编号为i的边的权值。     4 dis[i] 表示的源点到i的最短路     */      #define MAXN 1010       #define INF 0xFFFFFFF       int n , m;      int first[MAXN] , next[MAXN];      int star[MAXN] , end[MAXN] , value[MAXN];      int dis[MAXN];      queue<int>q;      /*输入*/      void input(){           scanf("%d%d" , &n , &m);           /*初始化表头*/           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){              first[i] = -1;              next[i] = -1;           }           /*读入m条边*/           for(int i = 0 ; i < m ; i++){              scanf("%d%d%d" , &star[i] , &end[i] , &value[i]);              star[i+m] = end[i];              end[i+m] = star[i];              value[i+m] = value[i];              next[i] = first[star[i]];/*由于要插入表头，所以将原先表头后移*/              first[star[i]] = i;/*插入表头*/              next[i+m] = first[star[i+m]];              first[star[i+m]] = i+m;           }      }      /*SPFA*/      void SPFA(int s){           while(!q.empty())                q.pop();           int vis[MAXN];           memset(vis , 0 , sizeof(vis));           /*初始化dis*/           for(int i = 1 ; i <= n ; i++)                dis[i] = INF;           dis[s] = 0;           q.push(s);/*将源点加入队列*/           vis[s] = 1;/*源点标记为1*/           while(!q.empty()){                int x = q.front();                q.pop();                vis[x] = 0;/*注意这里要重新标记为0，说明已经出队*/                /*枚举和点x有关的所有边*/                for(int i = first[x] ; i != -1 ; i = next[i]){                   if(dis[end[i]] > dis[x] + value[i]){/*松弛操作，利用三角不等式*/                     dis[end[i]] = dis[x] + value[i];                     if(!vis[end[i]]){/*如果该点不再队列里面*/                        vis[end[i]] = 1;                                        q.push(end[i]);                     }                   }                }           }  

   /*     1 n个点 m条边     2 邻接表存储图: first[i]存储的是节点i的第一条边的编号，nest[i]存储的是编号为i的边的下一条边的编号。     3 star[i]表示编号为i的边的起点，end[i]表示编号为i的边的终点，value[i]表示编号为i的边的权值。     4 dis[i] 表示的源点到i的最短路     */      #define MAXN 1010      #define INF 0xFFFFFFF      int n , m;      int first[MAXN] , next[MAXN];      int star[MAXN] , end[MAXN] , value[MAXN];      int dis[MAXN];      queue<int>q;      /*输入*/      void input(){           scanf("%d%d" , &n , &m);           /*初始化表头*/           for(int i = 1 ; i <= n ; i++){              first[i] = -1;              next[i] = -1;           }           /*读入m条边*/           for(int i = 0 ; i < m ; i++){              scanf("%d%d%d" , &star[i] , &end[i] , &value[i]);              star[i+m] = end[i];              end[i+m] = star[i];              value[i+m] = value[i];              next[i] = first[star[i]];/*由于要插入表头，所以将原先表头后移*/              first[star[i]] = i;/*插入表头*/              next[i+m] = first[star[i+m]];              first[star[i+m]] = i+m;           }      }      /*SPFA*/      void SPFA(int s){           while(!q.empty())                q.pop();           int vis[MAXN];           memset(vis , 0 , sizeof(vis));           /*初始化dis*/           for(int i = 1 ; i <= n ; i++)                dis[i] = INF;           dis[s] = 0;           q.push(s);/*将源点加入队列*/           vis[s] = 1;/*源点标记为1*/           while(!q.empty()){                int x = q.front();                q.pop();                vis[x] = 0;/*注意这里要重新标记为0，说明已经出队*/                /*枚举和点x有关的所有边*/                for(int i = first[x] ; i != -1 ; i = next[i]){                   if(dis[end[i]] > dis[x] + value[i]){/*松弛操作，利用三角不等式*/                     dis[end[i]] = dis[x] + value[i];                     if(!vis[end[i]]){/*如果该点不再队列里面*/                        vis[end[i]] = 1;                                        q.push(end[i]);                     }                   }                }           }`