A very hard mathematic problem（二分）

题目描述：   

    Haoren is very good at solving mathematic problems. Today he is working a problem like this: 

　　Find three positive integers X, Y and Z (X < Y, Z > 1) that holds
　　 X^Z + Y^Z + XYZ = K
　　where K is another given integer.
　　Here the operator “^” means power, e.g., 2^3 = 2 * 2 * 2.
　　Finding a solution is quite easy to Haoren. Now he wants to challenge more: What’s the total number of different solutions?
　　Surprisingly, he is unable to solve this one. It seems that it’s really a very hard mathematic problem.

　　Now, it’s your turn.

    Input
　　There are multiple test cases. 
　　For each case, there is only one integer K (0 < K < 2^31) in a line.
　　K = 0 implies the end of input.
　　
    Output

　　Output the total number of solutions in a line for each test case.

    Sample Input
    9
    53
    6

    0

    Sample Output
    1
    1
    0
　　
    Hint
    9 = 1^2 + 2^2 + 1 * 2 * 2

    53 = 2^3 + 3^3 + 2 * 3 * 3

   思路分析：

   用二分法解决

      题意：

      给你一个式子 x^z + y^z + x*y*z = k，k 为给定的某个 int 范围内的数字。

      求共有多少组关于 x,y,z 的解。（0< x < y,z > 1）

    解题思路：

    这题纠结了2天，我擦。今天终于把错误拍出来了。

    观察式子不难发现，显然当 z 越大的时候 x,y 的值越小。

由于 y 最小等于2，所以有 2^z < k，又k < 2^31，所以有 z < 31。

1、首先考虑当 z=2 的时候，式子左边可以化为 (x+y)^2 = k 的形式。

所以当 k 是完全平方数的时候，(x,y) 才有可能有解。

假如 m^2 = k ，问题就相当于求 x+y = m (x < y) 的解的组数。

容易得出，当m为偶数时，解组数为 m/2-1；当m为奇数时，解组数为 (m-1)/2。

2、然后考虑当 z>=3 的时候。

当 z=3 的时候，x,y 可能取到的值最大，而稍加计算可以得出 y 的最大值是1290.xx，设这个值为M。

那么枚举x,z的复杂度变为O(M*30)，大概是O(10^4)。

如果再直接枚举y的话，复杂度为O(M^2 *30)，大概是O(10^7)，略大。（不过也能140MS AC）。

那么有没有好的方法呢?

显然当 x,z 确定后，式子关于 y 是单调递增的，于是可以二分，将复杂度降为O(M*logM*30)，大概是O(10^5)。（15MS AC）。

第一次用小号交的，爆了0MS，然后竟然排到了rank1。O(∩_∩)O...

Ps：思路一直都是对的，可是昨天WA了一天。

这种题要注意一些细节。在二分的时候，我 y 的右边界一直取的是当 z = 3的时候的 M。这种贪方便的做法会引发一个问题。

就是当 z 逐渐变大的时候，二分区间中很多的值会溢出long long 的范围，导致判断大小错误。

幸好值溢出时会变负，所以我们可以根据值是否为负来判断是否溢出。若溢出，直接等效于大于。

其实这种方法不科学，后来我才知道值溢出时，只保留后几位，首位不一定为1.

解决办法：可以在myPow函数里加一句判断，如果溢出了int，就直接返回int_max，防超。

还掌握了个小知识，每个数字常量默认类型为可满足他范围的类型。

例如，1<<31会变成负的，溢出 int，因为1和31默认为int类型，从而1<<31也为int类型。可用 (LL)1<<31  或  1LL<<31 解决。

    

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>#include<ctype.h>int main(){int k,maxn,x,y,z,r;while(scanf("%d",&k)!=EOF&&k!=0){int ans = 0;for(z = 2;z <= 31;z++)  //因为z是幂，影响着大部分，所以先从z开始判断来缩小范围，优化，且由题可得最大为31 {maxn = pow((double)k,1.0/z);  for(x = 1;x <= maxn;x++){int l = x+1;r = maxn;if((pow(x,z)+pow(l,z)+x*l*z)>k||(pow(x,z)+pow(r,z)+x*r*z)<k)continue;while(l<=r){int mid = (l+r) / 2;long long res = pow(x,z)+pow(mid,z)+x*mid*z;if(res == k){ans++;break;}else if(res<k)l = mid +1;elser = mid -1;}}}printf("%d\n",ans);} return 0;}