生成函数小结

1.常见模型
指数型生成函数
排列型分配问题问题：求k个不同元素的有条件n排列数
解法：求出相应的指数型生成函数，找xn系数
拓展问题1：n个不同的小球放入k个不同的盒子中的方法数
解法：可以转化为k个不同的盒子去覆盖n个小球，即k个无穷元素的无条件n排列数:kn

通型生成函数模型
组合型分配问题：n个相同元素放入k个不同盒子的方法数
C(n+k-1,k)

类似问题：n个不同元素放入k个相同盒子的方法数。如果每个盒子非空，则为S(n,k)——第二类斯特灵数，如果可能空，那么为∑ki=1S(n,i)
但是注意：结果不等于kn/k!（只有在盒子非空时才可以除以k！得到，因为两个空的不同盒子是等价的。所以这个结果是错误的）

2.常用生成函数公式：
C(-n,k)=(−1)kC(n+k−1,k),n>0
1.ex=∑∞i=01/i!∗xi
2.enx=∑∞i=0ni/i!∗xi
3.(ex+e−x)/2=∑∞i=01/(2i)!∗x2i
4.(ex−e−x)/2=∑∞i=01/(2i+1)∗x2i+1
5.∑∞n=0xn=11−x
6.∑∞n=0(ax)n=11−ax
7.∑∞n=0(n+1)xn=1(1−x)2
8.∑∞n=0(n+22)xn=1(1−x)3.
9.∑∞n=0an(n+kk)xn=1(1−ax)k+1
10.∑∞n=0f(n)xn=G(x) f(n)是n的多项式函数，一定存在G(x)与之对应，可以用待定系数法求出

3.常见性质：
fn对应生成函数为F[x]，那么:
1.gn=fn−k,则G[x]=xkF[x],n>=k，生成函数从xk开始出现非零项
2.g(n)=∑nk=0f(k)f(n−k)对应生成函数G[x]为F2[x]
3.g(n,m)=∑ni=0g(i,m−1)f(n−i),G[x]=Fm[x]

4.应用
1）已知递推式，求通项。把递推市看作第n项的等式关系，推出生成函数等式，解得生成函数，求出n次项前系数即为通项
2）已知组合意义。如排列型分配问题问题