Prim

Prim算法

 

1.问题引入

     Prim算法（普里姆算法），图论算法的一种，用来在加权连通图中找到最小生成树。解决在一个连通网中找到一个最小生成树的问题：给定n个城市（编号由1到n），假设n个城市之间两两互相不连通。现在要在n个城市之间修路： 已知n个城市之间有m条公路（每条公路的预算经费已知）经过规划通过了省政府的审批，但为了节省资金，要求从m条公路中选出n-1条使n个城市中任意两个城市之间连通且需要的经费最少。

2，图论中的一些基本概念

     在讲解Prim算法之前需要了解一些基本的图论概念：

     2.1，图

               图G（Graph）由顶点集合V（Vertex）和边集合E（Edge）两部分组成，记作G=（V，E）。通常

               用V（G），E（G）分别表示图G的顶点集合和边集合。

     2.2，无向图

               若图G中的边集合E（G）中的边均为无向边，则图G为无向图。

     2.3，子图

               有两个图G=（V，E）和G'=（V'，E'），若有V'是V的子集（V'∈V）且E' 是E的子集（E'∈E），

               则称图G'为图G的子图。

     2.4，连通图

               若图G=（V，E）中任意两个顶点都连通（直接连接或间接连接），则称 G为连通图。

     2.5，权和网

               若图中的边都加上特定含义的数值，则称该图为网，称边上的数值为权值（网=图+权）。

     2.6，树

               有n个顶点和n-1条边组成的无向图G，若G中任意两个顶点之间都连通（直接或间接连接）且图G中

               的边都不形成回路，则称此无向图为树。也可以简单的将树说成是没有形成回路的连通图。

     2.7，生成树

              取连通图G的n个顶点（假设图G的顶点数目为n）和n-1条边构成一个子图G'，使G'满足 

              V（G'）=V（G） ，E（G'）∈E（G）。若G'是一个树（没有形成回路的连通图），则该树为图G的

              一个生成树，也可以是说当图G去掉某些边后成为了一个树。PS：引入树的概念是因为树的性质与

              此类问题的解相一致，即任意两个顶点连通且不形成回路，不产生无用的边。

     2.8，最小生成树--Minimum Spanning Tree (MST)

                图/网（网可以理解为特殊的图--加上权值）的生成树往往不是唯一的，因此这些树中边的权值之和

                就会有所不同，将各边的权值之和最小的生成树称为图/网G的最小生成树。PS：最小生成树也不

                唯一。

3，Prim算法的基本思想

    3.1，初步辨析Prim算法与Kruskal算法

                Prim算法常被称为加点法，它通过增加目标图T（Tree）中的顶点来逐步实现最小生成树的生成。

               另外一个求解最小生成树的算法是Kruskal（克鲁斯卡尔）算法，这个算法通过增加目标图T的边

              （当边数等于n-1时就可停止遍历）实现最小生成树的生成，可以称为加边法。Prim算法因为通

               过增加顶点来生成目标，因此可以用来处理边较稠密的图，其时间复杂度为O(n^2)（n为顶点数）

                ，而 Kruskal算法常被用来边数较稀疏的图，其时间复杂度为elog(e)（e为边的数目）。因为

                Kruskal 算法需要用到并查集的知识，所以需要再讲解过并查集之后再进行讲解。

     3.2，Prim算法的基本思想

             设图G=（V，E）是具有n个顶点的连通网，另外设T（P，S）（P为Peak的缩写，S为Side的缩写）

             为目标图，即最小生成树。下面是Prim算法的具体思路：

                              ⑴，开始时V=｛v1，v2,v3......vn｝，E=｛e1,e2,e3......en｝，P（T），S（T）均为

                                       空集， 即P=Φ，S=Φ。

                               ⑵，从V中任取一个顶点，假设所取点为v1，将v1入P中。此时V={v2,v3......vn},P={v1}。

                               ⑶，找出E中的一个顶点在P中，另一个顶点在V中的所有边中的权值最小的一条边，并

                                       将此边的在V中的邻接点加入到P中（此时V中顶点数为n-2,P中顶点数为2）。

                               ⑷，如果V中顶点数目为0，P中顶点数目为n，证明已经V中将n个顶点和n-1条边加入

                                       到P中，且T此时就是G的一个最小生成树。否则，则进行⑶步骤。

      3.3,prim算法的简要证明

           反证法：前提--假设prim生成的生成树不是最小生成树：

                      ⑴，设prim生成的树为T；

          ⑵，假设G'为G的最小生成树，则在G'中存在边<u,>不属于S(T)；

          ⑶，将<u,v>加入T中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(因为 <u,v> ∈G' )； 

          ⑷，这与prim每次生成最短边矛盾;

          ⑸，故假设不成立，命题得证。

 

4，Prim算法的实现

   4.1,几个需要解决的问题

       Prim算法的实现还有以下几个问题：

               ㈠，如何实现网G的构建：这里我们需要明白当具体实现Prim时我们需要网G储

                   存所有的起点和终点以及边信息（边的权值）。

                   解决方法如下：

                   ⑴，对于起点终点的储存我们可以考虑使用邻接矩阵（二维数组），并

                       将权值赋值给各边。

                   ⑵，如果一边的两点直接相连，我们可以将此边直接赋值。对于不相邻的两点，

                       我们可以将其边初始化为无穷大（可以用0x3f3f3f3f,0x7fffffff表示无

                       穷大）。对于矩阵主对角线上的数据（也就是边起点和终点是同一个点），

                       我们可以将其赋值为0，也可以将其赋值为无穷大。

              ㈡，如何找出一个顶点在P中，另一个顶点在V中的所有边中的权值最小的一条边：

                  我们需要将目标可能存在的边一一遍历，将权值最小的边记入总数并标记，同

                  时将此边的在V中的邻接点加入到P中。

                  下面介绍两种方法：

                  ⑴，具体实现时我们可能会直接想到运用两层for循环：一层是P中的顶点，一层

                      是V中的顶点，同时要用两个一维数组分别记录P和V中的顶点,(假设两数组

                      为P[100],V[100]) 。从V中取点加入P中时所取点要用sign[100]数组标记。

                      （事实上因为在本文中的问题上因为V中数据是1--n,是连续的，因此不使用V

                      数组也可以）这样，当P中元素个数为n时表明已经找出最小生成树。

                      如下表：(代码随后附上)

                              P                       V                                 sign第一次P[1]=1V[1]=1,V[2]=2,V[3]=3,V[4]=4,V[5]=5sign[1]=1第二次P[1]=1,P[2]=5V[1]=1,V[2]=2,V[3]=3,V[4]=4,V[5]=5sign[1]=1，sign[5]=1第三次P[1]=1,P[2]=5,P[3]=3V[1]=1,V[2]=2,V[3]=3,V[4]=4,V[5]=5sign[1]=1，sign[3]=1，sign[5]=1第四次P[1]=1,P[2]=5,P[3]=3，P[4]=2
V[1]=1,V[2]=2,V[3]=3,V[4]=4,V[5]=5
sign[1]=1，sign[2]=1，sign[3]=1,sign[5]=1第五次P[1]=1,P[2]=5,P[3]=3，P[4]=2，P[5]=4V[1]=1,V[2]=2,V[3]=3,V[4]=4,V[5]=5sign[1]=1,sign[2]=1,sign[3]=1,sign[4]=1,
sign[5]=1                                                                      

                  ⑵，第⑴种方法对于理解Prim算法的基本思想非常有用，但实际应用中要用到3

                      重for循环，时间复杂度较高。第⑵种方法理解起来有些困难，但却是最实

                      用的一种方法：

                      这里要用到一个一维数组dist[100]用来存储P中的点到V中的点的权值，仍  

                      然用sign[100]标记加入到P中的点。刚开始将定点1加入P，则P={1},

                      V={2,3,......n},sign[1]=1。（在这里不再使用P,V数组，而仅用sign数

                      组进行标记）

dist初始化如下：

① sign[1]=1;for(i=1;i<=n;i++){dist[i]=graph[1][i];//将1到其他定点的权值赋值给dist}

 

接下来要找出dist数组（下标1--n）中权值最小值并标记：

 

②for(j=1;j<=n;j++)  {      min=INF;      if(!sign[j]&&dist[j]<min)//找出V中一点，用u记录，dist[u]为dist数组中的最小值       {          min=dist[j];          u=j;      }  }  s+=min;//记录最小生成树的总权值   sign[u]=1;//标记u，就表示将u加入P中

                                                                                          

在②中找到了最小生成树的一个节点(1到其它节点的最小值)，但接下来的问题是：如何更新dist数组使dist记录的是：一个顶点在P中，另一个顶点在V中的所有边的权值。

③for(j=1;j<=n;j++){if(!sign[j]&&graph[u][j]<dist[j]){dist[j]=graph[u][j];}}

                                                                                         

通过③的代码我们可以看到其实dist不需要记录一个顶点在P中，另一个顶点在V中的所有边的权值，只需要更新时保证一个顶点在P中，另一个顶点在V中的所有边中的权值最小的一条边记录在dist数组中就可以了。在这里通过新加入最小生成树的节点u来更新P中的点到V中的点的权值，使dist[j]记录的是P中的所有点到j（V中的一点）的权值中的最小值，所以下一个最小生成树权值一定包含在dist数组中,且此时dist数组的下标就是最小生成树的一个节点。

PS：对于上面的代码只需要将②③包含在同一个for循环中就可以找出另外n-1个节点。

 

4.2，代码附上

     ㈠，基于4.1㈡①的代码实现：

 

<pre class="cpp" name="code">#include<cstdio>#include<cstring>#define INF 0x3f3f3f3fint graph[100][100];int P[100];//P记录最小生成树的顶点bool sign[100];//标记加入P中的顶点 void prim(int n){int k=1;int u=1;int sum=0;//记录最小生成树的总权值（修建公路的总花费） memset(sign,false,sizeof(sign));P[1]=1;//P中有一个顶点（此顶点可任选），V中有n-1个顶点 sign[1]=true;for(int i=1;i<n;i++)//在往P中加入n-1个顶点 {int min=INF;for(int j=1;j<=k;j++)//两重for循环，找出P中的点到V中的点的最短路径 {for(int h=1;h<=n;h++){if(!sign[h]&&graph[P[j]][h]<min){min=graph[P[j]][h];u=h;}}} sign[u]=true;P[++k]=u;sum+=min;}printf("最小生成树路径：");for(int i=1;i<=k;i++){printf("%d%s",P[i],i==k?"\n":"-->"); } printf("最小生成树总权值：%d\n",sum);}int main(){int n,m;//n个城市，m条边公路 int u,v,w;//u,v两个城市相连且花费为w while(~scanf("%d%d",&n,&m)){memset(graph,INF,sizeof(graph));//graph初始化为INF for(int i=0;i<m;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);graph[u][v]=graph[v][u]=w;//graph所表示的为无向图 }prim(n); } return 0;}

     

     ㈡，基于4.1㈡②的代码实现：

 

#include<cstdio>#include<cstring>#define INF 0x3f3f3f3fint graph[100][100];int P[100];bool sign[100];//标记加入P中的顶点 int dist[100];void prim(int n){memset(sign,false,sizeof(sign));int sum=0;//记录最小生成树的总权值（修建公路的总花费） int u=1,k=1;P[1]=1;//P中有一个顶点（此顶点可任选），V中有n-1个顶点 sign[1]=true; for(int i=1;i<=n;i++)//初始化 {dist[i]=graph[1][i];//将1到其他定点的权值赋值给dist}for(int i=1;i<n;i++)//在往P中加入n-1个顶点 {int min=INF;        for(int j=1;j<=n;j++)  {       if(!sign[j]&&dist[j]<min)//找出V中一点，用u记录，dist[u]为dist数组中的最小值       {          min=dist[j];          u=j;      }  } sign[u]=true;P[++k]=u;sum+=min;for(int j=1;j<=n;j++)//更新dist数组 {if(!sign[j]&&graph[u][j]<dist[j]){dist[j]=graph[u][j];}}}printf("最小生成树路径：");for(int i=1;i<=k;i++){printf("%d%s",P[i],i==k?"\n":"-->"); } printf("最小生成树总权值：%d\n",sum);}int main(){int n,m;//n个城市，m条边公路 int u,v,w;//u,v两个城市相连且花费为w while(~scanf("%d%d",&n,&m)){memset(graph,INF,sizeof(graph));//graph初始化为INF for(int i=0;i<m;i++){scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);graph[u][v]=graph[v][u]=w;//graph所表示的为无向图 }prim(n); } return 0;}

 

     ㈢，测试实例及结果

根据上图写出测试数据：

6 103 1 13 2 53 4 53 5 63 6 41 2 62 5 35 6 66 4 24 1 5

测试结果（两部分程序结果一致）：     

 

本文参考：

            ①http://wk.baidu.com/view/bd0300d2b14e852458fb57d2?pcf=2

            ②http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html

            ③http://blog.sina.com.cn/s/blog_81ca6e750101gw4n.html          

             

本文写的有许多不足之处，欢迎大家批评指正