最小生成树之Prim（普里姆）算法

关于什么是Prim（普里姆算法）?

       在实际生活中，我们经常碰到类似这样的一类问题:假设要在n个城市之间建立通信联络网，

则连通n个城市只需要n-1条线路。这时，我们需要考虑这样一个问题，如何在最节省经费前提

下建立这个通信网.换句话说，我们需要在这n个城市中找出一个包含所有城市的连通子图，使得

其所有边的经费之和最小. 这个问题可以转换为一个图论的问题:图中的每个节点看成是一个城市，

节点之间的无向边表示修建该路的经费，即每条边都有其相应的权值，而我们的目标是挑选n-1条

边使所有节点保持连通，并且要使得经费之和最小.

       这里存在一个显而易见的事实是: 最优解中必然不存在循环(可通过反证法证明). 因此，最后找

出的包含所有城市的连通子图必然没有环路。这种连通且没有环路的连通图就简称为树，而在一个

连通图中删除所有的环路而形成的树叫做该图的生成树.对于城市建立通信连通网，需要找出的树由

于具有最小的经费之和，因此又被称为最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST.

 基本思路？

  由于生成树必须包含原图里面的所有节点，关键的问题就在于边的选择，怎么才能找出n-1条边，

使得所有节点连通，并且权重最小呢？ 这里，我们先来看看MST有什么特点设有上图所示的最小生

成树T,如果删除边(u,v)∈T,则T将被分解成两个子树:T1和T2,因此，T1和T2分别是其所包含节点的最

小生成树，此处可用反证法证明:如果T1(也可假设为T2)不是其所包含节点的最小生成树，那么，势必

还存在的生成树T'，那么，T'+w(u,v)+T2<T1+w(u,v)+T2，这与我们的假设T是最小生成树相矛盾,

故结论成立.

这就是最小生成树的最优子结构性质，在细想一下，MST也包含了重叠子问题的性质，那么似乎我们

可以用动态规划来解决.但如果用动态规划来解决MST，其时间复杂度是指数级别的，显然不是太可取，

我们需要找寻更好的方法.既然MST满足最优子结构性质，那么它是否满足贪婪选择属性呢？

为了更好地理解最小生成树请看如下的例子：

加入一个地区有9个城镇，镇长要求你把这九个城镇联通起来，但是要求消耗最少，就是走的路最少。

如图：

代表九个城镇，并且相邻城镇之间的道路消耗已经标了出来，要求联通所有消耗最好。

那么可以得到如下几种情况：

1.

总消耗：=11 + 26 + 20 + 22 + 18 + 21 + 24 + 19 = 161

2、

总消耗:=8+12+10+11+17+19+16+7= 100

3、

总消耗：=8+12 + 10+11 +16 +19 + 16 +7 = 99

综上三图可知最后一个以微小的差距赢了第二个。

这种就叫做最小生成树。

对于Prim的算法：

设图G=(V,E),U是顶点集V的一个非空子集，如果(u,v)是一条具有最小权值的边，其中u∈U,v∈V-U,

则必存在一棵包含边(u,v)的最小生成树.

上述的性质可以通过反证法证明，如果(u,v)不包含在G的最小生成树T中，那么，T的路径中必然存

在一条连通U和V-U的边，如果将这条边以(u,v)来替换，我们将获得一个权重更低的生成树，这与T

是最小生成树矛盾.既然MST满足贪婪选择属性，那么，求解最小生成树的问题就简化了很多。

总结一下，具体的步骤大概如下：

构建一棵空的最小生成树T，并将所有节点赋值为无穷大.

1. 构建一棵空的最小生成树T，并将所有节点赋值为无穷大.
2. 任选一个节点放入T，另外一个节点集合为V-T.
3. 对V-T中节点的赋值进行更新(由于此时新加入一个节点，这些距离可能发生变化)
4. 从V-T中选择赋值最小的节点，加入T中
5. 如果V-T非空，继续步骤3～5，否则算法终结

这就是最小生成树和Prim算法的讲解。