转载-二分查找(附感悟)

二分查找是我们很多人初次接触的算法之一。思想可以说非常简单，但是实际上写起来会有很多问题，出现死循环、找不到解等。这里根据这几天对网上找到资料，写写自己的感悟和技巧。

网上有许多人利用循环不变量条件来写二分查找及其变体。并且证明了代码的正确性。下面来说说循环不变量。

循环不变量

循环不变量包括三个部分——初始、保持、终止。类似于数学归纳法，我们保证代码在初始时的正确性，然后证明保持的正确性，在代码终止时，仍然是正确的，那么就可以保证算法整个运行过程的正确性。

例如：

           二分查找值为key的下标，如果不存在返回-1。循环不变式：如果key存在于原始数组[0,n-1]，那么它一定在[left,right]中。初始化：第一轮循环开始之前，处理的数组就是原始数组，这时显然成立。保持：每次循环开始前，key存在于待处理数组array[left, ..., right]中。对于array[mid]<key，array[left, ..., mid]均小于key，key只可能存在于array[mid+1, ..., right]中；对于array[mid]>key，array[mid, ..., right]均大于key，key只可能存在于array[left, ..., mid-1]中；对于array[mid]==key，查找到了key对应的下标，直接返回。在前两种情况中，数组长度每次至少减少1（实际减少的长度分别是mid-left+1和right-mid+1），直到由1（left==right）变为0（left>right），不会发生死循环。终止：结束时，left>right，待处理数组为空，表示key不存在于所有步骤的待处理数组，再结合每一步排除的部分数组中也不可能有key，因此key不存在于原数组。

/* binsearch 寻找key下标，不存在 return -1 *//* binsearch 注意点【找不到 vs 死循环】 * 1. left <= right 如改为 left < right 可能找不到key *    例如 1 2 3 4 5；key=5; left==right时候才搜到key * 2. left = mid + 1; *    如上left改为=mid，可能死循环，例如上面例子， *    当left指向4时候，right指向5，此时，死循环； *    死循环的根本原因在于left，当两个指针left与right相邻 *    left可能永远等于mid，而right不会因为等于mid死循环 */int binsearch(int * arr, int lef, int rig, int key){    if(!arr)    return -1;    int left = lef, right = rig;    while(left <= right)    {        int mid = left + ((right-left)>>1);        if(arr[mid] < key)        {            left = mid + 1;        }else if(arr[mid] > key)        {            right = mid - 1;        }else            return mid;    }    return -1;}/* binsearch_min 返回key(可能有重复)第一次出现的下标，如无return -1 * * binsearch_min 注意点【死循环】 * 1. 如果while(left < right)改为(left <= right)可能死循环； * 2. 循环结束条件，left == right * * 该代码我测试了很多用例，没发现反例，我认为是对的 * 但网上都是用的left<right-1的条件并分别对arr[left]和arr[right] * 进行检查；我认为我写的更简练，希望有兴趣的读者帮忙review这段代码 * 如发现反例指出错误，感激不尽，嘿 */int binsearch_min(int * arr, int lef, int rig, int key){    if(!arr)    return -1;    int left = lef, right = rig;    while(left < right)    {        int mid = left + ((right-left)>>1);        if(arr[mid] < key)        {            left = mid+1;        }else        {            right = mid;        }    }    if(arr[left] == key)    return left;    return -1;}/* binsearch_max 返回key(可能有重复)最后一次出现的下标，如无return -1 * * binsearch_max 注意点【死循环 vs 越过目标位置】 * 1. 如果改为while(left < right)可能死循环； * 2. 如果left=mid改为left=mid+1；则有可能越过目标位置 * 3. 循环结束条件，left == right || left == right -1 * * 如非要死记：找最大的等号放<=key的位置，找最小的等号放>=key位置 */int binsearch_max(int * arr, int lef, int rig, int key){    if(!arr)    return -1;    int left = lef, right = rig;    while(left < right -1)    {        int mid = left + ((right-left)>>1);        if(arr[mid] <= key)        {            left = mid;        }else        {            right = mid;        }    }    if(arr[right] == key) // 找max，先判断right    {        return right;    }else if(arr[left] == key)    {        return left;    }else        return -1;}/* binsearch_justsmall 返回刚好小于key的元素下标，如无return -1 * * binsearch_justsmall 注意点【死循环 vs 越过目标位置】 * 1. 如果改为while(left < right)可能死循环；因为left=mid的缘故 * 2. 如果left=mid改为left=mid+1；则有可能越过目标位置 * 3. 循环结束条件，left == right || left == right -1 */int binsearch_justsmall(int * arr, int lef, int rig, int key){    if(!arr)    return -1;    int left = lef, right = rig;    while(left < right - 1)    {        int mid = left + ((right-left)>>1);        if(arr[mid] < key)        {            left = mid;        }else        {            right = mid - 1;        }    }    if(arr[right] < key) // 找刚好小于，先判断right    {        return right;    }else if(arr[left] < key)    {        return left;    }else        return -1;}/* binsearch_justgreat 返回刚好大于key的元素下标，如无return -1 * * binsearch_justgreat 注意点【死循环 vs 检查元素是否大于key】 * 1. 如果改为while(left <= right)可能死循环；因为right = mid； * 2. 最后注意检查arr[right]是否大于key * 3. 循环结束条件，left == right */int binsearch_justgreat(int * arr, int lef, int rig, int key){    if(!arr)    return -1;    int left = lef, right = rig;    while(left < right)    {        int mid = left + ((right-left)>>1);        if(arr[mid] <= key)        {            left = mid + 1;        }else        {            right = mid;        }    }    if(arr[right] > key) return right;    return -1;}

参考资料

http://www.cr173.com/html/20428_1.html
http://www.ahathinking.com/archives/179.html