最长递增子序列O(Nlogn)
来源:互联网 发布:黄网络直播 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 18:48
最长递增子序列,Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了,这两个太容易理解了。
假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了
首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1
接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2
再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2
继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。
第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3
第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。
最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。
于是我们知道了LIS的长度为5。
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。
然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!
代码如下:
//在非递减序列 arr[s..e](闭区间)上二分查找第一个大于等于key的位置,如果都小于key,就返回e+1int upper_bound(int arr[], int s, int e, int key){ int mid; if (arr[e] <= key) return e + 1; while (s < e) { mid = s + (e - s) / 2; if (arr[mid] <= key) s = mid + 1; else e = mid; } return s;}int LIS(int d[], int n){ int i = 0, len = 1, *end = (int *)alloca(sizeof(int) * (n + 1)); end[1] = d[0]; //初始化:长度为1的LIS末尾为d[0] for (i = 1; i < n; i++) { int pos = upper_bound(end, 1, len, d[i]); //找到插入位置 end[pos] = d[i]; if (len < pos) //按需要更新LIS长度 len = pos; } return len;}
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