简单探讨全排列的递归生成算法

在研究组合数学的时候，常常能够碰见要求生成全排列的情况。下面来简单探讨全排列的递归生成算法。

现有一个序列（1,2,3）,将其命名为序列S<a1,a2,a3>, 假定A(a1,a2,a3) 为这个序列的全排列，那么我们可以得到如下若干序列：

<a1,A(a2,a3)>  ①

<a2,A(a1,a3)>  ②

<a3,A(a1,a2)>  ③

我们再来看①，她还可以展开成如下两个序列：

<a1,a2,A(a3)>  ⑤

<a1,a3,A(a2)>  ⑥

那么⑤也就等价于下面这个序列：

<a1,a2, a3>  ⑦

同理，①②③全部展开的时候可以得到6个序列。

如果是序列是n个元素的话，那么可以展开得到n!个序列。

由⑤→⑦我们就容易观察出，当A排列被不断地缩小至只有一个元素的时候，就得到了S序列的全排列中的一个。

其次，同时观察⑤⑥两式的时候，我们可以得到两式的最后两个元素其实是互相交换的关系。

那么到这一步我们也就不难得到递归代码了。

但是，仅仅是上面的思想并不能很完美的解决全排列的问题，数学上讲求互异性，上面的思想在一个所有元素均互异的序列里能得到完美的结果，但是如果序列不能保证所有元素互异，那么就会产生重复的序列了，这显然不够优美！

如何改进呢？

前面说到只有在序列中存在相同元素的时候，上面的思想才会产生重复的序列，那么是在哪一步出的问题呢？

请注意到在上述的①式展开变到⑤式和⑥式的时候，假设a1和a2相等，那么⑤式和⑥式只要输出其一即可了。

所以呢，在产生全排列A(ai,ai+1,...,aj-1)的时候，如果有aj和ak,(i<=k<j)相等,那么A(ai,ai+1,...,aj)里就必有重复序列！

比如，对于输入的1,3,2，会输出下一个字典序排列2,1,3

算法的大致思路如下：

(1)对于输入的字典许排列<a1,a2,…,an>，反向查找第一对满足a[j]<a[j+1]的下标j
(2)仍旧反向查找一个下标k，使得 a[j]<a[k]并且a[k]=min{a[t] | any t, a[j]<a[t]}
(3)交换a[j]和a[k]
(4)使得a[i+1..n]按递增排列

说完思路，重点是分析。

第一步是根据字典序定义进行的。

而在找到满足条件的j后，有一个隐藏的性质，即：a[j+1..n]是（非严格）单调递减排列的，这点可以由反证法结合第一步导出矛盾来证明。所以第二部中只需要查找第一个满足条件的k，也满足了最小值原则。

在第四步中，由于上面逆序条件可知，递增排列性质只需要逆置a[j+1..n]即可。

接下来考虑两个意外情况：(1)元素重复 (2)输入已经是最后一个字典序排列

其实第一个问题已经得到了解决，因为第一步中我们要满足的条件是严格的小于。并且因为这个断言，我们在第二步中查找满足条件的k时，是一定可以找到这样的k的

第二个问题比较隐蔽，如果输入已经是最后一个字典序，亦即是一个单调递减排列，那么第一步会直接越界。解决方法只需要简单保证j非负即可。

另外，如果要用这个算法产生全排列，那么只需要保证输入排列是第一个字典序，即单调递增排列即可。

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <iostream>using namespace std;/*最简单的版本，但是可能会产生重复的序列*/template<class T>void ToPermu(T A[], int l, int r) {if (l == r) {for (int i=0; i<=r; i++)cout << A[i] << " ";cout << endl;return;} for (int i=l; i<=r; i++) {swap(A[l], A[i]);GenePermu(A, l+1, r);swap(A[l], A[i]);}}template<class T>bool Check(T A[], int i, int j) {for (int t=i; t<j; t++)if (A[t] == A[j])return false;return true;}/*全排列的升级版，可以去除掉重复序列的情况*/template<class T>void ToPermuPro(T A[], int l, int r) {if (l == r) {for (int k=0; k<=r; k++)cout << A[k] << " ";cout << endl;return;} for (int k=l; k<=r; k++) {if (Check(A, l, k)) continue;swap(A[k], A[l]);GenePermuPro(A, l+1, r);swap(A[k], A[l]);}}/*判断是否还有下一个字典序*/bool NextPermutation(int A[], int n) {int j = n - 2;while (A[j] >= A[j+1] && j>=0) --j;if (j < 0) return false;int i = n - 1;while (A[j] >= A[i]) --i;swap(A[j], A[i]);int l = j + 1;int r = n - 1;while (l < r) swap(A[l++], A[r--]);return true;}