求特定几何变换

问题

如何求一个三维的正交变换，它把已知向量 变换为 ？

解答

这样的正交变换不是唯一的。因为有太多种可能。如果知道了两种基本的旋转和反射，基于此能构造无穷种正交变换满足题设要求。

我比较感兴趣的是两种最简单直接的：旋转 和 反射。

反射

垂直于 所在平面，并且等分的平面作为镜面时的反射满足条件。

首先确定这个平面。令为 记作 。

不失一般性，不妨假设 ; 因为经过 点，所以 。即：

另外容易知道： 的中点，以及向量 和 的叉积也在平面上，从而可以用 表示出平面。

此时可以从Householder矩阵写出齐次反射矩阵，其前主子矩阵是所要的反射：

旋转

如果是旋转，它就是，以两个向量 和 的叉积向量为旋转轴向量的旋转矩阵，旋转角是二者的夹角。然后，直接利用这里的公式即可。应该注意的是，旋转轴向量的符号与旋转角的符号应该匹配，所以，需要验算。

小结

不论是反射平面经过原点的任意三维反射，还是旋转轴经过原点的任意三维旋转，都是正交矩阵。都可以先求齐次坐标下的一般 的齐次变换矩阵形式之后，直接截取其前 主子矩阵而得到欧氏坐标下的对应几何变换矩阵。