【特征匹配】SIFT原理之KD树+BBF算法解析

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   继上一篇中已经介绍了SIFT原理与C源码剖析，最后得到了一系列特征点，每个特征点对应一个128维向量。假如现在有两副图片都已经提取到特征点，现在要做的就是匹配上相似的特征点。

相似性查询有两种基本方式：1.范围查询：即给点查询点和查询阈值，从数据集中找出所有与查询点距离小于阈值的点。

                          2.K近邻查询：给点查询点及正整数K,从数据集中找到与查询点最近的K个数据，当K=1时，就是最近邻查询。

特征匹配算子可以分为两类：1.穷举法：即将数据集中的点与查询点逐一计算距离，如果图1提取到N1个特征点，图2中提取到N2个特征点，用穷举法匹配，要做N1×N2运算，这种方法显然效率低下。

                          2.建立数据索引:对数据进行分析，对搜索数据空间进行划分，按划分时是否有重叠，分为KD树和R树。KD树是对空间划分时没有重叠的一种。

                                   

       一个三维k-d树。第一次划分（红色）把根节点（白色）划分成两个节点，然后它们分别再次被划分（绿色）为两个子节点。最后这四个子节点的每一个都被划分（蓝色）为两个子节点。因为没有更进一步的划分，最后得到的八个节点称为叶子节点。

KD树的构建：KD树是一个二叉树，对数据空间空间进行划分，每一个结点对应一个空间范围。如上图所示，三维空间的划分方式。首先确定在数据集上对应方差最大的维度ki，并找到在ki维度上的数据集的中值kv（并作为根节点）,即第一步把空间划分成两部分，在第ki维上小于kv的为一部分称为左子节点，大于kv的为另外一部分对应右子节点，，然后再利用同样的方法，对左子结点和右子节点继续构建二叉树，直所剩数据集为空。

举个例子：有5个数据，每个数据都是5维，建立KD树，A<7,5,7,3,8>;B<3,4,1,2,7>;C<5,2,6,6,9>;D<9,3,2,4,1>,E<2,1,5,1,4>，首先在计算在5个维度上的方差为6.56；2；5.36；2.96；8.56；可见在第5维度上方差最大，继续在第5个维度上找到中值为7，即B点，在第5维度上值小于7的作为左子树数据(A,C)，大于7的作为右子树(D,E)，然后继续在A,C,两点上计算方差最大的维度，继续划分。D,E也是如此。如下图，ki表示维度，kv表示该维度上的值。

KD树的查询：从根节点开始沿二叉树搜索，直到叶子结点为止，此时该叶节点并不一定是最近的点，但是一定是叶子结点附近的点。所以一定要有回溯的过程，回溯到根节点为止。例如：查询与M<5，4，1，3，6>点的最近邻点，查询路径为B，A，C，计算完MC的距离后，逆序向上，查询A及A的右子树，再次回溯B及B左子树，最后得到最近的距离,MB点最近。

假如数据集是维数是D,一般来说要求数据的规模N需要满足N>>2^D条件，才能达到高效的搜索，一般来说用标准的KD树时数据集的维数不超过20，但是像SIFT特征描述子128为，SURF描述子为64维，所以要对现有的KD树进行改进。

BBF:上述回溯的过程，完全是按照查询时路径决定的，没有考虑查询路径上的数据性质，BBF(Best-Bin-First)查询机制能确保优先包含最近邻点的空间，即BBF维护了一个优先队列，每一次查询到左子树或右子树的过程中，同时计算查询点在该维度的中值的距离差保存在优先队列里，同时另一个孩子节点地址也存入队列里，回溯的过程即从优先队列按（差值）从小到大的顺序依次回溯。如上一个例子，首先把B保存在优先队列里，然后开始从优先队列里取数据，取出B，发现要到左孩子A节点里继续查询，这时，要把右孩子节点D保存在优先队列里，同时加上距离属性ki=5，kv=7，所以d=7-6=1，这时优先队列里简记为D(1)；同理，如果A有右孩子，也要存入优先队列，加上属性ki=2,kv=5,d=5-4=1;（例子不太恰当，o(╯□╰)o），回溯的过程是按照优先队列的距离逐个回溯，直到优先队列为空，或者超时，停止；BBF设置了超时机制，为了在高维数据上，满足检索速度的需要以精度换取时间，获得快速查询。这样可知，BBF机制找到的最近邻是近似的，并非是最近的，只能说是离最近点比较近而已。超时机制在算法的实现上，限定了从优先队列中提取数据的次数。

下面从算法上解析：

构建KD树：

struct kd_node* kdtree_build( struct feature* features, int n )//features为特征带你，n为个数{  struct kd_node* kd_root;  if( ! features  ||  n <= 0 )    {      fprintf( stderr, "Warning: kdtree_build(): no features, %s, line %d\n",       __FILE__, __LINE__ );      return NULL;    }  kd_root = kd_node_init( features, n );   //建立根节点，每次建立一个节点存入一个特征点  expand_kd_node_subtree( kd_root );//以根节点开始扩展KD树  return kd_root;}

static struct kd_node* kd_node_init( struct feature* features, int n ){  struct kd_node* kd_node;  kd_node = malloc( sizeof( struct kd_node ) );  memset( kd_node, 0, sizeof( struct kd_node ) );  kd_node->ki = -1;               //属性ki初始化为1  kd_node->features = features;//指向特征点  kd_node->n = n;     //节点属性n保存以kd_node为根的树上总节点数  return kd_node;}

扩展KD树：以当前结点的最大方差的维数为对应的中值为基准，把所有数据分成左右子树的结点数据，并以此递归下去，直到叶子结点的创建即返回。

static void expand_kd_node_subtree( struct kd_node* kd_node )  //递归法建立KD树{  /* base case: leaf node */  if( kd_node->n == 1  ||  kd_node->n == 0 ) //如果剩下一个节点，成为叶子节点    {      kd_node->leaf = 1;      return;    }  assign_part_key( kd_node );   //计算最大方差的对应的维数,ki和kv  partition_features( kd_node );//按第ki维的数据大小分成左子树数据和右子树的数据  if( kd_node->kd_left )   //继续构建左子树    expand_kd_node_subtree( kd_node->kd_left );  if( kd_node->kd_right )//继续构建右子树    expand_kd_node_subtree( kd_node->kd_right );}

计算最大方差对应的维数ki，与中值kv,取中值时，采用了最坏情况也是线性时间的选择算法，我的博客之前写过，这里不再分析<中位数排序>点击打开链接

static void assign_part_key( struct kd_node* kd_node )  //计算节点数据的最大方差对应的维数ki，和中值kv{  struct feature* features;  double kv, x, mean, var, var_max = 0;  double* tmp;  int d, n, i, j, ki = 0;  features = kd_node->features;  n = kd_node->n;  d = features[0].d;  /* partition key index is that along which descriptors have most variance */  for( j = 0; j < d; j++ )        //计算d维数据上，所有维数上的方差。    {      mean = var = 0;      for( i = 0; i < n; i++ )mean += features[i].descr[j];      mean /= n;      for( i = 0; i < n; i++ ){  x = features[i].descr[j] - mean;  var += x * x;}      var /= n;                          //计算第j维的数据的方差      if( var > var_max ){  ki = j;  var_max = var;}    }  /* partition key value is median of descriptor values at ki */  tmp = calloc( n, sizeof( double ) );     for( i = 0; i < n; i++ )   //取得所有数据上第ki维上的数据    tmp[i] = features[i].descr[ki];  kv = median_select( tmp, n );   //找到第ki维度上中间的值，这里采用了最坏情况运行时间O(n)的选择算法  free( tmp );  kd_node->ki = ki;       //维度  kd_node->kv = kv;     //中间值}

按ki维上kv值，把特征点排序，小于等于kv为作为左子树数据，大于kv作为右子树数据

static void partition_features( struct kd_node* kd_node ){  struct feature* features, tmp;  double kv;  int n, ki, p, i, j = -1;  features = kd_node->features;  n = kd_node->n;  ki = kd_node->ki;  kv = kd_node->kv;  for( i = 0; i < n; i++ )      //对特征点按第ki维数据大小排序    if( features[i].descr[ki] <= kv )      {tmp = features[++j];features[j] = features[i];features[i] = tmp;if( features[j].descr[ki] == kv )  p = j;      }  tmp = features[p];  features[p] = features[j];  features[j] = tmp;  /* if all records fall on same side of partition, make node a leaf */  if( j == n - 1 )                                //说明只剩一个节点，标记为叶子节点    {      kd_node->leaf = 1;      return;    }  kd_node->kd_left = kd_node_init( features, j + 1 );//创建左子树，里面有j+1个结点  kd_node->kd_right = kd_node_init( features + ( j + 1 ), ( n - j - 1 ) );//创建右子树，里面有n-j-1个结点}

☆KD树已经创建完毕，现在要做的是查询，查询与特征点最近邻的K个特征点，首先把根节点插入到优先队列，然后开始从有优先队列中取元素，遍历到叶节点，同时路径过程中，未查询的另一个结点的加入优先队列（按ki维上的数值与kv的差值的绝对值大小），然后再次从优先队列中取结点，再次遍历到叶节点，如此反复...直到遇到超时限制，或者遍历完所有节点为止。

/*kd_root为创建好的KD树，feat为要查询的特征点k为要找到的近邻节点数，SIFT中选取2nbrs存储查询到的k个近邻数据max_nn_chkes为最大提取队列次数，即超时限制成功返回找到的近邻数据个数，否则返回-1*/int kdtree_bbf_knn( struct kd_node* kd_root, struct feature* feat, int k,    struct feature*** nbrs, int max_nn_chks ){  struct kd_node* expl;  struct min_pq* min_pq;  struct feature* tree_feat, ** _nbrs;  struct bbf_data* bbf_data;  int i, t = 0, n = 0;  if( ! nbrs  ||  ! feat  ||  ! kd_root )    {      fprintf( stderr, "Warning: NULL pointer error, %s, line %d\n",       __FILE__, __LINE__ );      return -1;    }  _nbrs = calloc( k, sizeof( struct feature* ) );  min_pq = minpq_init();                     //创建一个最小优先队列  minpq_insert( min_pq, kd_root, 0 );  //在优先队列在插入第一个根元素  while( min_pq->n > 0  &&  t < max_nn_chks )     //如果队列不为空且在超时次数内    {      expl = (struct kd_node*)minpq_extract_min( min_pq );//在优先队列中取出一个元素      if( ! expl ){  fprintf( stderr, "Warning: PQ unexpectedly empty, %s line %d\n",   __FILE__, __LINE__ );  goto fail;}      expl = explore_to_leaf( expl, feat, min_pq );// 找到特征点在KD树叶子节点位置，过程中未查询的加入优先队列      if( ! expl ){  fprintf( stderr, "Warning: PQ unexpectedly empty, %s line %d\n",   __FILE__, __LINE__ );  goto fail;}      for( i = 0; i < expl->n; i++ )     //遍历以expl为根的子树所有节点{      //printf("%x",expl->features[i].feature_data);  tree_feat = &expl->features[i];  bbf_data = malloc( sizeof( struct bbf_data ) );  if( ! bbf_data )    {      fprintf( stderr, "Warning: unable to allocate memory,"       " %s line %d\n", __FILE__, __LINE__ );      goto fail;    }    //bbf_data->old_data 这个数据没有用途，因为特征点属性中没有使用到feature_data这个自定义类型  bbf_data->old_data = tree_feat->feature_data;         printf("%x",bbf_data->old_data);                       bbf_data->d = descr_dist_sq(feat, tree_feat);    //计算两特征点的欧式距离  tree_feat->feature_data = bbf_data;  n += insert_into_nbr_array( tree_feat, _nbrs, n, k ); //找到K个近邻的特征点，存入数组_nbrs中，从小到大的距离；}      t++;    }  minpq_release( &min_pq );  for( i = 0; i < n; i++ )    {      bbf_data = _nbrs[i]->feature_data;      _nbrs[i]->feature_data = bbf_data->old_data;      free( bbf_data );    }  *nbrs = _nbrs;  return n; fail:  minpq_release( &min_pq );  for( i = 0; i < n; i++ )    {      bbf_data = _nbrs[i]->feature_data;      _nbrs[i]->feature_data = bbf_data->old_data;      free( bbf_data );    }  free( _nbrs );  *nbrs = NULL;  return -1;}

这里创建优先队列采用了堆排序的思想，堆排序一个重要的应用就是优先队列，在一个包含n个元素的堆中，所有优先队列的操作都可以在lgn时间内完成。优先队列也有两种形式，最大优先队列和最小优先队列，这里使用的是最小优先队列，即key值越小优先级越高，关于堆排序的原理，可以看之前的堆排序的算法<堆排序>点击打开链接。

struct min_pq* minpq_init()  //队列初始化{  struct min_pq* min_pq;  min_pq = malloc( sizeof( struct min_pq ) );  min_pq->pq_array = calloc( MINPQ_INIT_NALLOCD, sizeof( struct pq_node ) );//分配队列的空间  min_pq->nallocd = MINPQ_INIT_NALLOCD;  min_pq->n = 0;//队列中元素的个数  return min_pq;}

int minpq_insert( struct min_pq* min_pq, void* data, int key )//向优先队列中插入元素{  int n = min_pq->n;  /* double array allocation if necessary */  if( min_pq->nallocd == n )    {      min_pq->nallocd = array_double( (void**)&min_pq->pq_array,      min_pq->nallocd,      sizeof( struct pq_node ) );      if( ! min_pq->nallocd ){  fprintf( stderr, "Warning: unable to allocate memory, %s, line %d\n",   __FILE__, __LINE__ );  return 1;}    }  min_pq->pq_array[n].data = data;  min_pq->pq_array[n].key = INT_MAX;  decrease_pq_node_key( min_pq->pq_array, min_pq->n, key ); //插入元素到优先队列中,堆排序算法  min_pq->n++;  return 0;}

从队列中取出一个节点，沿着结点遍历到叶节点为止，同时未查询的加入优先队列。

static struct kd_node* explore_to_leaf( struct kd_node* kd_node,    //从kd_node开始开始查询直到叶节点为止struct feature* feat,struct min_pq* min_pq ){  struct kd_node* unexpl, * expl = kd_node;  double kv;  int ki;  while( expl  &&  ! expl->leaf )    {      ki = expl->ki;      kv = expl->kv;            if( ki >= feat->d ){  fprintf( stderr, "Warning: comparing imcompatible descriptors, %s" \   " line %d\n", __FILE__, __LINE__ );  return NULL;}      if( feat->descr[ki] <= kv ){  unexpl = expl->kd_right;  expl = expl->kd_left;}      else{  unexpl = expl->kd_left;  expl = expl->kd_right;}            if( minpq_insert( min_pq, unexpl, ABS( kv - feat->descr[ki] ) ) )   //未查询到的结点，按差值大小加入优先队列{  fprintf( stderr, "Warning: unable to insert into PQ, %s, line %d\n",   __FILE__, __LINE__ );  return NULL;}    }  return expl;}

计算两特征点的欧式距离：

double descr_dist_sq( struct feature* f1, struct feature* f2 ){  double diff, dsq = 0;  double* descr1, * descr2;  int i, d;  d = f1->d;  if( f2->d != d )    return DBL_MAX;  descr1 = f1->descr;  descr2 = f2->descr;  for( i = 0; i < d; i++ )    {      diff = descr1[i] - descr2[i];      dsq += diff*diff;    }  return dsq;}

找到的特征点距离插入nbrs队列，作为输出。nbrs也是按照从小到大的顺序存储距离，

假如要插入的新的距离为D，队列此时最后一个元素d

    1.如果队列未满的情况（即要取得K近邻还没有找到K个）(1) D>=d,直接插入到队列后面；(2) D<d,则找到要插入的位置，然后比D大的元素都往后移动一位；

    2.如果队列已经满了：(1)D>=d,直接丢弃当前的距离；（2）D<d,则找到要插入的位置，然后比D大的元素都往后移动一位；最后一个元素丢弃。

static int insert_into_nbr_array( struct feature* feat, struct feature** nbrs,  int n, int k ){  struct bbf_data* fdata, * ndata;  double dn, df;  int i, ret = 0;  if( n == 0 )    {      nbrs[0] = feat;      return 1;    }  /* check at end of array */  fdata = (struct bbf_data*)feat->feature_data;                          //判断要插入的位置  df = fdata->d;  ndata = (struct bbf_data*)nbrs[n-1]->feature_data;  dn = ndata->d;  if( df >= dn )                 //准备插入到最后    {      if( n == k )              //但K近邻队列已满，舍弃{  feat->feature_data = fdata->old_data; //舍弃掉前，再次保留之前自定义的数据  free( fdata );  return 0;}      nbrs[n] = feat;      return 1;    }  /* find the right place in the array插入到队列中间，分为队列满或不满的情况 */  if( n < k )                 //K近邻队列没满，元素向后平移    {      nbrs[n] = nbrs[n-1];      ret = 1;    }  else    {      nbrs[n-1]->feature_data = ndata->old_data;//队列已满，最后一个要舍弃，恢复之前的数据      free( ndata );    }  i = n-2;  while( i >= 0 )           //元素逐次向后平移找到，队列中适当的位置；    {      ndata = (struct bbf_data*)nbrs[i]->feature_data;      dn = ndata->d;      if( dn <= df )break;      nbrs[i+1] = nbrs[i];      i--;    }  i++;  nbrs[i] = feat;   //插入元素  return ret;}

至此，关于SIFT原理以及特征点匹配的算法已介绍完毕，后续文章将陆续更新surf,brife,fast,ORB等一系列关于特征匹配的文章，再次感谢CSDN上的大牛们！