HDU 5391 Zball in Tina Town(数论——威尔逊定理)——BestCoder Round #51(div.2)

Zball in Tina Town

Time Limit: 3000/1500 MS (Java/Others)    Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others)

Problem Description

Tina Town is a friendly place. People there care about each other.

Tina has a ball called zball. Zball is magic. It grows larger every day. On the first day, it becomes 1 time as large as its original size. On the second day,it will become 2 times as large as the size on the first day. On the n-th day,it will become n times as large as the size on the (n-1)-th day. Tina want to know its size on the (n-1)-th day modulo n.

 

Input

The first line of input contains an integer T, representing the number of cases.

The following T lines, each line contains an integer n, according to the description.
T≤105,2≤n≤109

 

Output

For each test case, output an integer representing the answer.

 

Sample Input

2310

 

Sample Output

20

 

Source

BestCoder Round #51 (div.2)

 

/************************************************************************/

附上该题对应的中文题

Zball in Tina Town

 

 

 Time Limit: 3000/1500 MS (Java/Others)

 

 Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others)

问题描述

Tina Town 是一个善良友好的地方,这里的每一个人都互相关心。Tina有一个球，它的名字叫zball。zball很神奇，它会每天变大。在第一天的时候，它会变大$1$倍。在第二天的时候，它会变大$2$倍。在第$n$天的时候，它会变大$n$倍。zball原来的体积是$1$。Tina想知道，zball在第$n-1$天时的体积对$n$取模是多大呢？Tina是一个蠢蠢的女孩子，当然不会算啦，所以她请你帮她算出这个答案呢。

输入描述

第一行一个正整数$T$，表示数据组数接下来$T$行，每行一个正整数$n$，意义如题面所述T \leq 10^5,2 \leq n \leq 10^9T≤10​5​​,2≤n≤10​9​​

输出描述

对于每组数据，输出一个正整数，表示答案。

输入样例

2310

输出样例

20

/****************************************************/

出题人的解题思路：

1000 Zball in Tina Town

出题人:wuzhuangtai00

这题就是求 $(n-1)!modn$

如果$n$为合数，显然答案为0.

如果$n$为素数，那么由威尔逊定理可得答案为 $n-1$

注意有个trick为 $n$ = 4.

脑到用时方恨少，说实话，看着一位位大牛们把这题A出来，我就觉得自己为何如此蠢，虽然看懂了题目是让我们求(n-1)!对n取模的结果，但是着实不知道如何着手，甚至我还查到了阶乘的近似公式(stirling公式)

然而并没有任何用处。

看了出题人的解题报告之后，我才惊呆了，居然用了数论四大定理，我只能说我学艺不精，当初貌似有看到过威尔逊定理，但是被我默默忽略了，因为百度百科关于威尔逊定理有这么一句描述的话“由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大”。好吧，我醉了，还是一起来温故一下这个定理吧

( p-1)! ≡ -1 ( mod p )

即(p-1)!+1能被p整除(当且仅当p为素数)

在此先不予证明，想要看证明的可以看一下百度百科(链接)，虽然表示我看得云里雾里

回到出题人的解题报告，素数的问题解决了，那我们看n为合数的情况，除了4以外，因为每一个合数都存在比它小的约数能组成该合数，所以(n-1)!必定是能够被n整除的，比如12，它能由3*4构成，所以11!必定能被12整除

而4，只有一个2，不够组成4，所以4要单独考虑。

关于上述判断素数的方法，普通的判断当然ok

for(int i=2;i*i<=n;i++)    if(n%i==0)         break;

而你用费马检测的方法也是行的

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")#include<stdio.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<queue>#include<math.h>#include<vector>#include<map>#include<set>#include<stdlib.h>#include<cmath>#include<string>#include<algorithm>#include<iostream>#define exp 1e-10#define ll __int64using namespace std;const int N = 500005;const int inf = 1000000000;const int mod = 258280327;//快速幂ll Quick_Mod(ll a, ll b, ll mod){    ll res = 1,term = a % mod;    while(b)    {        if(b & 1) res = (res * term) % mod;        term = (term * term) % mod;        b >>= 1;    }    return res;}//费马检测bool Is_Prime(ll n){   int i;   for(i = 0;i < 5;i++)//随机次数       if(Quick_Mod(1 + rand() % (n - 1),n - 1,n) != 1)         break;   if(i == 5) return true;   return false;}int main(){    int t;    __int64 n;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%I64d",&n);        if(n==4)            puts("2");        else if(Is_Prime(n))            printf("%I64d\n",n-1);        else            puts("0");    }    return 0;}

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