背包之01背包、完全背包、多重背包详解(转)

首先说下动态规划，动态规划这东西就和递归一样，只能找局部关系，若想全部列出来，是很难的，比如汉诺塔。你可以说先把除最后一层的其他所有层都移动到2，再把最后一层移动到3，最后再把其余的从2移动到3，这是一个直观的关系，但是想列举出来是很难的，也许当层数n=3时还可以模拟下，再大一些就不可能了，所以，诸如递归，动态规划之类的，不能细想，只能找局部关系。

（引至杭电课件:DP最关键的就是状态，在DP时用到的数组时，也就是存储的每个状态的最优值，也就是记忆化搜索）

要了解背包，首先得清楚动态规划：

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描述一个最优解的结构； 2. 递归地定义最优解的值； 3. 以“自底向上”的方式计算最优解的值；4. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。 

其中步骤1~3是动态规划求解问题的基础。如果题目只要求最优解的值，则步骤4可以省略。

背包的基本模型就是给你一个容量为V的背包 在一定的限制条件下放进最多(最少?)价值的东西

当前状态→ 以前状态 

首先我们把三种情况放在一起来看：

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包， 每种物品均只有一件。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，第i种物品最多有n[i]件可用。每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 

比较三个题目，会发现不同点在于每种背包的数量，01背包是每种只有一件，完全背包是每种无限件，而多重背包是每种有限件。

---

先来分析01背包：

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包，每种物品均只有一件。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下：

在前i件物品放进容量v的背包时，它有两种情况

情况一: 第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]情况二: 第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i] 

第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品）

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。 （这里是重点，理解！）

这里是用二维数组存储的，可以把空间优化，用一维数组存储。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后，最后f[v]表示所求最大值。

这里f[v]就相当于二维数组的f[i][v]。那么，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重点！思考）

首先要知道，我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。

即：for i=1..N

现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值？

逆序

这就是关键！

for i=1..N   for v=V..0        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

分析上面的代码：当内循环是逆序时，就可以保证后一个f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一状态的！这里给大家一组测试数据： 测试数据： 10,3 3,4 4,5 5,6

图2: 01背包图(1)

这个图表画得很好，借此来分析：

C[v]从物品i=1开始，循环到物品3，期间，每次逆序得到容量v在前i件物品时可以得到的最大值。

（请在草稿纸上自己画一画）
这里以一道题目来具体看看：

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

代码：http://www.wutianqi.com/?p=533

分析：

图2: 01背包图(2)
具体根据上面的解释以及我给出的代码分析。这题很基础，看懂上面的知识应该就会做了。

---

完全背包：

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。 完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

同样可以转换成一维数组来表示

伪代码如下

for i=1..N    for v=0..V        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

顺序

想必大家看出了和01背包的区别，这里的内循环是顺序的，而01背包是逆序的。

现在关键的是考虑：为何完全背包可以这么写？

在此我们先来回忆下，01背包逆序的原因？是为了是max中的两项是前一状态值，这就对了。 那么这里，我们顺序写，这里的max中的两项当然就是当前状态的值了，为何？ 因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时，f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值，这里我们要添加的不是前一个背包，而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。

这里同样给大家一道题目：

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

代码：http://www.wutianqi.com/?p=535

---

多重背包

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

这里同样转换为01背包：

思路 1、直接对每一件物品进行拆分成min（Num[i],V/Weight[i]）件，之后在拆分后的集合上进行01背包的求解。

时间复杂度：和基本思路一样，没有降低。

思路 2、采用二进制拆分的思想。对每i件物品，拆分的策略为：新拆分的物品的重量等于1件,2件,4件,..,(2^(k - 1)),Num[i] - (2^(k - 1))件，其中k 是满足Num[i] - 2^k + 1 > 0 的最大整数。

注意，

（1）最后一个物品的件数的求法和前面不同，其直接等于 该物品的最大件数 - 前面已经分配之和。

（2）分成的这几件物品的系数和为Num[i]，表明第i种物品取的件数不能多于Num[i]。

举例：某物品为13件，则其可以分成四件物品，其系数为1,2,4,6.这里k = 3。

当然，这里使用二进制的前提还是使用二进制拆分能保证对于0,,,Num[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示。
具体使用时，有一个小优化，即：

我们不对所有的物品进行拆分，因此物品一旦拆分，其物品个数肯定增加，那么复杂度肯定上去。

此时，我们可以选择性地对物品进行拆分：

（1）如果第i个物品的重量Weight[i] * 物品的个数Num[i] >= 背包总重量V，可以不用拆分。

（2）如果第i个物品的重量Weight[i] * 物品的个数Num[i] < 背包总重量V，可以不用拆分。

其实，拆不拆分，就看该物品能不能满足完全背包的条件。即，看该物品能不能无限量供应。

解释：为啥满足Weight[i] * 物品的个数Num[i] >= 背包总重量V的物品可以不用拆分?

此时，满足该条件时，此物品原则上是无限供应，直到背包放不下为止。

最终，对于不需要拆分的物品，可以看出完全背包的情况，调用处理完全背包物品的函数。对于需要拆分的物品，可以看出01背包的情况，调用处理01背包物品的函数。

这样，由于不对满足完全背包的物品进行拆分，此时物品个数就没有对所有物品拆分时的物品个数多，即程序中外层循环降低，复杂度也就下去了。

给出一个例题：

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

代码：http://www.wutianqi.com/?p=537

---

以上内容转自http://www.wutianqi.com/?p=539