《C算法》读书笔记 （4）：Hello，Joseph！

P67, 3-8 约瑟夫问题

上一篇文章中提到了使用链表模拟约瑟夫问题求解。约瑟夫问题是这样的 ：假设有N个人决定选出一名领导，将所有人排成一个圆周，从1编号到N。现在从1开始，数M个人，最后的M出列。重复上述步骤，直到只剩下一个人，该人即为领导。
首先定义链表的数据结构：

typedef struct node *link;struct node {    int item;    link next;};

将node称为节点。现要删除节点p->next，只需要使p->next=p->next->next。

void sim_joseph()       // 链表模拟{    link p, t;    t = p = (link)malloc(sizeof(node)), p->item = 1, p->next = p;    for(int i = 2; i <= n; ++ i)    {        p = (p->next = (link)malloc(sizeof(node)));        p->item = i;    }    p->next = t;    for(int i = 0; i < n - 1; ++ i)     // n - 1 times execute    {        for(int j = 0; j < m - 1; ++ j)            p = p->next;        //printf("%d is killed\n", p->next->item);        t = p->next;        p->next = p->next->next;        free(t);    }    printf("%d remains alive\n", p->item);    free(p);}

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显然，该算法的复杂度为O(N∗M)
有没有更好的算法？答案是肯定的。
假设有一个N=6，M=2的样例，也就是6个人围成一圈，每次报2个数，直到最后一个人。
样例的流程如下：

为了便于理解，我们将N=6，5，4时的最后一个人先利用链表法计算出来：
N=5，M=2时，最后的结果为3，记F(5,2)=3
同理得，F(4,2)=1，F(6,2)=5
将所有编号减1（为了计算的简便性，此时F(5,2)=2，F(6,2)=4），分析第一步：

在1号选手被淘汰出局后，剩下的五人实际上重新组成了一个新的约瑟夫问题F(5,2)，唯一的区别就是，新一局的选手0在上一局里面编号为2，选手1在上一局编号为3，以此类推。可以建立一个映射关系：

H(x)=(H˜(x)+M)modN

其中H˜(x)代表新一局里面的编号，N为当前问题人数

易见，在5人问题中最后的胜者2，在6人问题中编号为4。
同理，在4人问题中最后的胜者1，在5人问题中编号为3。

如此递推，存在边界：1人问题最后胜者为0。从1人问题依次反推就得到解。
该算法的复杂度为O(N)

完整的程序如下：

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>using namespace std;typedef struct node *link;struct node {    int item;    link next;};int n, m;void linear_joseph()    // 递推{    int ans = 0;    for(int i = 2; i <= n; ++ i)    {        ans = (ans + m) % i;    }    printf("linear shows %d remains alive\n", ans + 1);}void sim_joseph()       // 链表模拟{    link p, t;    t = p = (link)malloc(sizeof(node)), p->item = 1, p->next = p;    for(int i = 2; i <= n; ++ i)    {        p = (p->next = (link)malloc(sizeof(node)));        p->item = i;    }    p->next = t;    for(int i = 0; i < n - 1; ++ i)     // n - 1 times execute    {        for(int j = 0; j < m - 1; ++ j)            p = p->next;        //printf("%d is killed\n", p->next->item);        t = p->next;        p->next = p->next->next;        free(t);    }    printf("sim shows %d remains alive\n", p->item);    free(p);}int main(){    freopen("in.txt", "r", stdin);    freopen("out.txt", "w", stdout);    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)    {        sim_joseph();        linear_joseph();    }    return 0;}