CSAPP学习笔记——Fraction Binary Numbers

浮点数的二进制底层表示

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同整数的二进制底层表示，浮点数也是2的幂的加权。
对于二进制比特串

[bm,bm−1...b2,b1,b0,b−1,b−2,b−3....b−n−1,b−n]

表示

float number=∑i=−nmbi∗2i

因为只能表示为2的幂的加权，所以这种表示形式就有很大的漏洞，那就是任何一个浮点数只能近似的表示。

早期各个计算机制造公司对于浮点数的底层解释不同，这就意味着移植性很差没有统一标准。为了方便，制定了IEEE Standard 754标准，现在的绝大部分机器都使用这种标准。

IEEE浮点数标准

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IEEE浮点数标准使用32位bit表示单精度浮点数(float)，64位bit表示双精度浮点数(double)。

它们在机器中表示如下 ：

看图片我们可以知道，无论是单精度还是双精度，都分成了三个部分：

1. sign ： 符号位，sign为1表示负数，为0表示正数
2. exponent : 单精度8位（23-30），双精度11位（52-62）。表示一个权重，是2的幂的加权形式。
3. frac ： n位frac编码尾数位M。尾数M是一个二进制的小数，它的范围是1 to 2−ϵ或者是0 to 1−ϵ

这里解释一下1−ϵ，对于小数1.0,假如说用6位比特来表示，那么最多只能表示到0.111111−>63/64近似为1,我们用符号1−ϵ来表示近乎为1的数。

一个给定的比特串，根据exp的值不同，划分为了三种情况，下面依次介绍。

Normalized Values（规范化数值）

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这是最为常见的值。
当exp既不是全0，也不是全1的时候，比特串被按照下列规则解释。

阶码

这种情况下，exponent域被解释成一个有符号整数。这里exp本身会被解释成一个unsigned interger，所以通过减去一个bias（偏置量）来使其变为signed。

以单精度浮点数为例。k=sizeof(exp)=8，bias=2k−1−1=127。
再除去exp全为0和全为1的情况。

Min(exp)=1−127=−126  Max(exp)=254−127=127

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尾数

处于Normalized Values（规范化数值)情况下，frac =[0.f[n−1],f[n−2]....f[0]，会被加上一个leading one表示，此时尾数M=1+frac,范围是1 to 2−ϵ

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Denormalized Values（非规范化数值）

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阶码

非规范化数值，exp域全0，类似：

这种情况下exp被解释为1−bias对于单精度来讲即−126

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尾数

M=frac没有隐式的前导1，该是多少小数就为多少，此时M的范围是0 to 1−ϵ

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Special Values（特殊值）

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阶码

这种情况下exp全为1，根据frac不同解释为不同的特殊值。

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尾数

1. 如果在这种情况下，尾数全为0。s=1时表示负无穷，s=0表示正无穷。

   

2. 如果尾数不为0，那么这表示不是一个数。用NaN(Not a Number)来表示

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例子

Description Bit Representation Exponent Fraction Value Zero 0 0000 000 -6 0/8 0 Smallest denormal 0 0000 000 -6 1/8 2^-6 * 1/8 = 1/512 Largeset denormal 0 0000 111 -6 7/8 2^-6 * 7/8 = 7/512 Smalleset normal 0 0001 000 -6 8/8 2^-6 * 8/8 = 8/512 One 0 0111 000 0 8/8 2^0 * 8/8 = 8/8 Largest normal 0 1110 111 7 15/8 2^7 * 15/8 = 1920/8 Infinity 0 1111 0000 _ _ 正无穷

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十进制整数的科学计数法的二进制表示

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简单说一个例子，比如说十进制整数12345,它的二进制表示形式为[11000000111001],所以

12345=1.10000001110012∗213

所以

M=1.1000000111001,frac=0.1000000111001

exp=13+bias(127)=140=10001100

最后位数不够，末尾补零，得到

01000110010000001110010000000000=12345.0=0x4640e400

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浮点数的舍入

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前面我们说过，浮点数只能近似的表示一个数。因此对于一个自然小数x，我们需要找到一种方法使得浮点数x′最为接近自然小数x。
这种方式成为舍入(rounding)，顾名思义就是根据一定的规则将数字的一部分舍去或者入位（进位）。
舍入的一个关键问题是 ： 当数字恰好处于上下限中间位置的时候，我们该如何处理。
计算机对于浮点数的舍入有四种模式，我们依次介绍。
假如说对于一些浮点数，我们想保留整数位，那么四种不同的舍入方式如下。

Mode 1.40 1.60 1.50 2.50 -1.50 Round-to-even 1 2 2 2 -2 Round-toward-zero 1 1 1 2 -1 Round-down 1 1 1 2 -2 Round-up 2 2 2 3 -1

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1. Round-to-even : 向偶数舍入（也称为向最近的数舍入 round-to-nearest）这是大部分计算机的默认舍入方式。当数据不在两个数中间时，1.40,1.60会向最近的数舍入，依次对应为1,2,如果说数据位于两个数中间1.50,2.50会舍入到最近的偶数，因此两个的结果都是2。

2. Round-toward-zero : 向0的方向舍入。每次舍入都会使得数字向0的方向靠拢。

3. Round-down ： 顾名思义即向下舍入，每个数变为第一个小于它的整数。如第一个小于−1.50的整数是−2，实际上，就是向数轴的负方向舍入。

4. Round-up : 对应Round-down,向数轴的正方向舍入。

我们可能会有些疑问，为什么默认的方式是向偶数舍入？
想象一个场景，舍入一组数之后，然后计算这组数的平均值是有偏差的。

• 采用round-up，平均值略高。

• 采用round-down，平均值会略低。

• 采用round-toward-zero,只有在正数和负数的数量差不多的时候，平均值的误差才比较低，然而实际情况中，对正数和负数的数量我们是不能做任何假定的。

• 采用round-to-even可以尽量减少这种偏差，因为它%50的情况向上舍入，%50的情况向下舍入。

Round-to-even不仅适用于保留整数的舍入。

1. 十进制小数的舍入
   无论哪种舍入方式，保留两位小数，对1.2349999得到1.23，1.235001得到1.24,因为这两个数都不在1.23和1.24的中间。另一方面，1.2350000和1.2450000按照向偶数舍入都将得到1.24，因为4是偶数，且两个数都是一个中间值。

2. 二进制小数的舍入
   我们把0看做偶数，1看做奇数。
   并且只有形如XXXXX.YYYYY110这种比特串才可以表示处于两个可能结果值的中间位置。
   其中X,Y表示任意的值，最右边的Y表示要保留的最后一位。
   加入说要保留两位小数（对二进制小数来说即舍入到最近的14的位置)。
   10.000112(2332)向下舍入得到10.002(2)
   10.001102(2316)向上舍入得到10.012(214)
   10.111002(278)会向偶数舍入得到11.002(3)，注意这里的偶数不是说最后的结果是偶数，而是小数后第二位之前是1,0代表偶数，所以10.11+1得到了11.00。
   10.101002(258)向偶数舍入得到10.102(212)

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浮点数的运算

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由于浮点数只能近似的表示自然小数，因此它的计算由于舍入（rounding）会损失精度，标准制定了特殊的规则。

浮点数加法

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对于浮点数x和y，规定

x + y = Round(x + y)

浮点数加法是可交换的，也就是说

x + y = y + x

但是浮点数加法是不可结合的，例子

(3.14+110)−110=0.0

因为某些精度问题,3.14被丢弃了,但是

3.14+(110−110)=3.14

因此浮点数加法是不可结合的，编译器通常不会对浮点数加法做任何优化。

**特殊的：

+∞+−∞=NaN，NaN+X=NaN

浮点数乘法

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对于浮点数x和y，规定

x ∗ y = Round(x ∗ y)

同样，乘法满足交换律，不满足结合律。

C中的浮点数

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C语言并不支持IEEE的浮点标准，也不是向偶数舍入。在float int doulbe之间的给定特殊的规则。

• int->folat : 数据不会溢出，可能会有舍入的情况
• int,float->double : 数据不会溢出，精度也不会损失。(double有最大的范围和精度）
• double->float : 数据可能溢出为+∞或者−∞，否则的话可能会舍入，因为float精度较小。

• float,double->int : 正常来讲，会向0舍入。例如−1.999−>−1。如果发生了溢出，很遗憾，C标准没有给出这个溢出的值应该是多少，兼容Intel的微处理器会用Min Signed[10000...000]来代替这个数值。

  例如在我的机器上给出下列代码：

#include <stdio.h>#include <math.h>#include <limits.h>int main(){    double x = 1e10;    int y = INT_MIN;    printf("%d\n",(int)x);    printf("%d\n",y);    return 0;}

得到的结果是x=−2147483648恰好为INT_MIN
也就是说，当一个浮点数不能正确的转换为一个合理的整数的时候，就会得到INT_MIN（必须是与Intel兼容的微处理器才会有这种结果）