复数

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一、复数的概念

1.1 数的概念的发展

数的概念是从实践中产生和发展起来的。早在原始社会末期，由于记数的需要，人们就建立起自然熟的概念。自然数的全体构成自然数集N。

随着生产和科学的发展，熟的概念也得到了发展。

为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数法的要求，人们引进了零和负数，把自然数看作正整数，把正整数、零、负整数合并在一起，构成整数集Z。

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们又引进了有理数，规定他们就是一切形如mn的数，其中m∈Z,n∈N。这样，就把整数集Z扩大为有理数集Q。显然，Z⊂Q。如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数实际上就是分数集。

每一个有理数都可以表示成整数、有限小数或循环节不为0的循环小数；反过来，整数、有限小数或循环节不为0的循环小数也都是有理数。如果把整数、有限小数都看作循环节为0的循环小数，那么有理数集实际上就是循环小数的集合。

为了解决有些量与量之间的比值（例如用正方形的边长去度量它的对角线所得结果）不能用有理数表示的矛盾，人们又引入了无理数。所谓无理数，就是无限不循环小数。有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R。因为有理数都可以看作循环小数（包括整数、有限小数），无理数都是无限不循环小数，所以实数集就是小数集。

从解方程来看，方程x+5=3在自然数集N中无解，在整数集Z中就有一个解x=−2；方程3x=5字整数集Z中无解，在有理数集Q中就有一个解x=53；方程x2=2在有理数集Q中无解，在实数集R中就有两个解x=±2√。但是，熟的范围扩充到实数集R以后，象x2=−1这样的方程还是无解，因为没有一个实数的平方等于−1。在十六世纪，由于解方程的需要，人们开始引进一个新数i，叫做虚数单位，并规定：

它的平方等于−1，即 $i 2 = - 1;$
实数与它进行四则运算时，所有的加、乘运算律仍然成立。

在这种规定下，i可以与实数b相乘，再同实数a相加，由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a+bi。人们把它们叫做复数。全体复数所成的集合，一般用字母C来表示。^[1]

[1] C是英文词组Complex numbers（复数）的第一个字母。

在这种规定下，i就是−1的一个平方根。因此，方程x2=−1在复数集C中就至少有一个解x=i。

十八世纪以后，复数在数学、力学和电学中得到了应用。从此对它的研究日益展开。现在复数已成为科学技术中普遍使用的一种数学工具。

1.2 复数的有关概念

复数a+bi（a,b∈R。以后说复数a+bi时，都有a,b∈R），当b=0时，就是实数；当b≠0时，叫做虚数，当a=0,b≠0时，叫做纯虚数；a与b分别叫做复数a+bi的实部与虚部。例如，3+4i,−12−2√i,−0.5i都是虚数，它们的实部分别是3,−12,0，虚部分别是4,−2√,−0.5。

显然，实数集R是复数集C的真子集，即R⊂C。

如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等，我们就说这两个复数相等，记作a+bi=c+di，这就是说，如果a,b,c,d∈R，那么

a + b i = c + d i \Leftrightarrow a = c, b = d, a + b i = 0 \Leftrightarrow a = b = 0.

例：已知(2x−1)+i=y−(3−y)i，其中x,y∈R。求x与y。

解：根据复数相等的定义，得方程组{2x−1=y,1=−(3−y).解得x=52,y=4。

从复数相等的定义，我们知道，任何一个复数z=a+bi，都可以由一个有顺序的实数对(a,b)唯一确定。这就使我们能借用平面直角坐标系来表示复数z=a+bi。如图1，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z(a,b)来表示。这个建立了直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴（因为原点表示实数0，原点不在虚轴上）。表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在轴上。

复数-图1 复数-图2

很明显，按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的。这是复数的一个几何意义。

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数（当虚部不等于0时也叫做互为共轭虚数）。复数z的共轭复数可以用z¯¯¯来表示，也就是说，复数z=a+bi的共轭复数是z¯¯¯=a−bi。显然，复平面内表示两个互为共轭复数的点Z与Z¯¯¯¯关于实轴对称（图2），而实数a（即虚部为0的复数）的共轭复数仍是a本身。

两个实数可以比较大小。但是两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小。对于这个命题的证明，将稍后给出。

1.3 复数的向量表示

在物理学中，我们经常遇到力、速度、加速度、电场强度等，这些量，除了要考虑它们的绝对值大小以外，还要考虑它们的方向。我们把这种既有绝对值大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向线段来表示，线段的长度就是这个向量的绝对值（叫做这个向量的模），线段的方向（用箭头表示）就是这个向量的方向。模相等且方向相同的向量，不管它们的起点在哪里，都认为是相等的向量。在这一规定下，向量可以根据需要进行平移。模为零的向量（它的方向是任意的）叫做零向量。规定所有零向量相等。

复数-图3

复数可以用向量来表示。如图3，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连结OZ，如果我们把有向线段OZ（方向是从点O指向点Z）看成向量，记作OZ−→−−，就把复数同向量联系起来了。很明显，向量OZ−→−−是由点Z唯一确定的；反过来，点Z也可由向量OZ−→−−唯一确定。因此，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量所成的集合也是一一对应的。为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或者说成向量OZ−→−−。此外，我们还规定，相等的向量表示同一个复数。

图3中的向量OZ−→−−的模（即有向线段OZ的长度）r叫做复数z=a+bi的模（或绝对值）记作|z|或|a+bi|。如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a它的模就等于|a|（即a在实数意义上的绝对值）。容易看出，

| z | = | a + b i | = r = a 2 + b 2 - - - - - - \sqrt .

例1：求复数z1=3+4i及z2=−12−2√i的模，并且比较它们的模的大小。

解：|z1|=32+42−−−−−−√=5,|z2|=(−12)2+(2√)2−−−−−−−−−−−−√=32.又5>32，故|z1|>|z2|。

例2：设z∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
（1）|z|=4；（2）2<|z|<4。

解：（1）复数z的模等于4，就是说，向量→OZ的模（即点Z与原点O的距离）等于4，所以满足条件|z|=4的点Z的集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆。
（2）不等式2<|z|<4可化为不等式组{|z|<4,|z|>2.不等式|z|<4的解集是圆|z|=4内部所有的点组成的集合，不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件2<|z|<4的点Z的集合。容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以2及4为半径的圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（图4）。

复数-图4

二、复数的运算

2.1 复数的加法与减法

复数的加法规定按照以下的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的和：

(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i .

很明显，两个复数的和仍然是一个复数。

容易验证，复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1,z2,z3∈R，有

z 1 + z 2 = z 2 + z 1, (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3) .

现在我们来看复数加法的几何意义。

从物理学知道，要求出作用于同一点O、但不在同一直线上的两个力F1−→−与F2−→−的合力，只要用表示F1−→−与F2−→−的向量为相邻的两边画一个平行四边形，那么，平行四边形中，以力的作用点O为起点的那条对角线所表示的向量就是合力F−→（图5-1）。这个法则通常叫做向量加法的平行四边形法则。

复数-图5-1 复数-图5-2

复数用向量来表示，如果与这些复数对应的向量不在同一直线上，那么这些复数的加法就可以按照向量加法的平行四边形法则来进行。下面我们来证明这一事实。

设OZ1−→−−−及OZ2−→−−−分别与复数a+bi及c+di对应，且OZ1−→−−−,OZ2−→−−−不在同一直线上（图5-2）。以OZ1−→−−−及OZ2−→−−−为两条邻边画平行四边形OZ1ZZ2，画x轴的垂线PZ1,QZ2及RZ，并且画Z1S⊥RZ，容易证明

△ Z Z 1 S ≅ △ Z 2 O Q,

并且四边形

Z1PRS是矩形，因此

O R = O P + P R = O P + Z 1 S = O P + O Q = a + c

R Z = R S + S Z = P Z 1 + Q Z 2 = b + d .

于是点

Z的坐标是

(a+c,b+d)，这说明设

OZ−→−−就是于复数

(a+c)+(b+d)i对应的向量。

由此可知，求两个复数的和，可以先画出这两个复数对应的向量OZ1−→−−−,OZ2−→−−−，如果OZ1−→−−−,OZ2−→−−−不在同一直线上，再以这两个向量为两条邻边画平行四边形，那么与这个平行四边的对角线OZ所表示的向量OZ−→−−对应的复数，就是所求两个复数的和。

如果OZ1−→−−−,OZ2−→−−−在同一直线上，我们可以画出一个“压扁”了的平行四边形，并据此画出它的对角线来表示OZ1−→−−−,OZ2−→−−−的和。

总之，复数的加法可以按照向量的加法法则来进行，这是复数加法的几何意义。

下面再来看复数的减法。

复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足

(c + d i) + (x + y i) = a + b i

的复数

x+yi，叫做复数

a+bi减去复数

c+di的差。记作

(a+bi)−(c+di)，根据复数相等的定义，有

c + x = a, d + y = b,

由此

x = a - c, y = b - d,

所以

x + y i = (a - c) + (b - d) i,

即

(a + b i) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i,

这就是复数的减法法则。由此可见，两个复数的差是一个唯一确定的复数。

现设OZ−→−−与复数a+bi对应，OZ1−→−−−与复数c+di对应（图6）。以OZ−→−−为一条对角线，OZ1−→−−−为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边，OZ2−→−−−所表示的向量，OZ2−→−−−就与复数(a−c)+(b−d)i对应。因为Z1Z=//OZ2，所以向量Z1Z−→−−−也与这个差对应。

复数-图6

这就是说，两个复数的差z−z1（即OZ−→−−−OZ1−→−−−）与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。这就是复数减法的几何意义。

由上所述，我们可以看出，复数的加（减）法与多项式的加（减）法是类似的，就是把复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即

(a + b i) \pm (c + d i) = (a \pm c) + (b \pm d) i .

例1：计算(5−6i)+(−2−i)−(3+4i)。

解：(5−6i)+(−2−i)−(3+4i)=(5−2−3)+(−6−1−4)i=−11i。

例2：根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式。

复数-图7

解：如图7，设复平面内的任意两点Z1,Z2分别表示复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i，那么Z1Z1−→−−−−就是与复数z2−z1对应的向量。如果用d表示点Z1,Z1之间的距离，那么d就是向量Z1Z2−→−−−−的模，即复数z2−z1的模，所以

d = | z 2 - z 1 | = | (x 2 + y 2 i) - (x 1 + y 1 i) | = | (x 2 - x 1) + (y 2 - y 1) i | = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt .

\]这与我们之前导出的两点间的距离公式一致。

例3：根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内的圆的方程。

复数-图8

解：如图8，设圆心为P，点P与复数p=a+bi对应，圆的半径为r，圆上任意一点Z与复数z=a+bi对应，那么

| z - p | = r .

这就是复平面内的圆的方程。特别地，当点

P在原点时，圆的方程就成了

|z|=r。

请读者利用复数的减法法则，把圆的方程|z−p|=r化成用实数表示的一般形式

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r 2

2.2 复数的乘法与除法

复数的乘法规定按照以下的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，那么它们的积

(a + b i) (c + d i) = a c + b c i + c d i + b d i 2 = (a c - b d) + (b c + a d) i .

也就是说，复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把

i2换成

−1，并且把实部和虚部分别合并。

很显然，两个复数的积仍然是一个复数。

容易验证，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何z1,z2,z3∈C，有

z 1 \cdot z 2 = z 2 \cdot z 1, (z 1 \cdot z 2) \cdot z 3 = z 1 \cdot (z 2 \cdot z 3), z 1 \cdot (z 2 + z 3) = z 1 \cdot z 2 + z 1 \cdot z 3 .

根据复数的乘法法则，对于任何复数

z=a+bi，有

(a + b i) (a - b i) = a 2 + b 2 + (a b - a b) i = a 2 + b 2,

因此，两个共轭复数

z,z¯¯¯的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即

z \cdot z ¯ ¯ ¯ = | z | 2 = | z ¯ ¯ ¯ | 2 .

例1：计算(1−2i)(3+4i)(−2+i)。

解：(1−2i)(3+4i)(−2+i)=(11−2i)(−2+i)=−20+15i。

计算复数的乘方，要用到虚数单位i的乘方。因为复数的长发满足交换律与结合律，所以实数集R中正整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何z,z1,z2∈C及m,n∈N，有

z m \cdot z n = z m + n, (z m) n = z m n, (z 1 \cdot z 2) n = z n 1 \cdot z n 1 .

另一方面，我们有

i 1 = i, i 2 = - 1, i 3 = i 2 \cdot i = - i, i 4 = i 3 \cdot i = - i \cdot i = - i 2 = 1.

从而，对于任何

n∈N，我们都有

i 4 n + 1 = i 4 n \cdot i = (i 4) n \cdot i = 1 n \cdot i = i .

同理可证

i 4 n + 2 = - 1, i 4 n + 3 = - i, i 4 n = 1.

这就是说，如果

n∈N，那么

i 4 n + 1 = i, i 4 n + 2 = - 1, i 4 n + 3 = - i, i 4 n = 1.

例2：计算(12−3√2i)3。

解：(12−3√2i)3=(12)3−3(12)2(3√2i)+3(12)(3√2i)2−(3√2)3=18−33√8i−98+33√8i=−1.

复数的除法规定是乘法的逆运算，即把满足

(c + d i) (x + y i) = a + b i (c + d i \neq 0)

的复数

x+yi，叫做复数

a+bi除以复数

c+di的商，记作

(a+bi)÷(c+di)或

a+bic+di。

我们知道，两个共轭复数的积是一个实数，因此，两个复数相除，可以先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，并且把结果化简，即

a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c - d i ) ( c + d i ) ( c - d i ) = ( a c + b d ) + ( b c - a d ) i c 2 + d 2 = a c + b d c 2 + d 2 + b c - a d c 2 + d 2 i (c + d i \neq 0) .

因为

c+di≠0，所以

c2+d2≠0。由此可见，商

a+bic+di是一个唯一确定的复数。

例3：计算(1+2i)÷(3−4i)。

解：(1+2i)÷(3−4i)=1+2i3−4i=(1+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−5+10i25=−15+12i。

三、复数的三角形式

3.1 复数的三角形式

我们知道，与复数z=a+bi对应的向量OZ−→−−（图9）的模r叫做这个复数的模，并且

r = a 2 + b 2 - - - - - - \sqrt .

复数-图9

以x轴的正半轴为始边、向量OZ−→−−所在的射线（起点是O）为终边的角θ，叫做复数z=a+bi的辐角。

不等于零的复数z=a+bi的辐角有无限多个值，这些值相差2π的整数倍。例如，复数i的辐角是π2+2kπ，其中k可以取任何整数。

适合于0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值。记作argz，即0≤argz<2π。

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且可由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。

很明显，当a∈R+时，

arg α = 0, arg (- α) = π, arg (a i) = π 2, arg (- a i) = 3 π 2 .

如果z=0，那么与它对应的向量OZ−→−−缩成一个点（零向量），这样的向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的。

从图9可以看出：

{a = r cos θ, b = r sin θ .

因此

a + b i = r cos θ + i r sin θ = r (cos θ + i sin θ) .

其中

r = a 2 + b 2 - - - - - - \sqrt, cos θ = a r, sin θ = b r .

当与

z对应的点

Z不在实轴或虚轴上时，

z的辐角

θ的终边所在的象限就是点

Z所在的象限；当点

Z在实轴或虚轴上时，辐角

θ的终边就是从原点

O出发、经过点

Z的板条坐标轴。

因此我们可以说，任何一个复数z=a+bi都可以表示成

r (cos θ + i sin θ)

的形式。

r(cosθ+isinθ)叫做复数a+bi的三角形式。为了同三角形式区别开来，a+bi叫做复数的代数形式。

例1：把复数3√+i表示成三角形式。

解：r=3+1−−−−√=2,cosθ=3√2.因为与3√+i对应的点在第一象限，所以arg(3√+i)=π6，于是3√+i=2(cosπ6+isinπ6).

例2：把复数1−i表示成三角形式。

解：r=1+1−−−−√=2√,cosθ=12√=2√2.因为与1−i对应的点在第四象限，所以arg(1−i)=7π4，于是1−i=2√(cos7π4+isin7π4).

例3：把复数−1表示成三角形式。

解：r=1+0−−−−√=1.因为与−1对应的点在x轴的负半轴上，所以arg(−1)=π，于是−1=cosπ+isinπ.

当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角θ不一定要取主值。例如，2√[cos(−π4)+isin(−π4)]也是复数1−i的三角形式。

3.2 复数的三角形式的运算

3.2.1 乘法与乘方

如果把复数z1,z2分别写成三角形式

z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1), z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2),

故有

z 1 \cdot z 2 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1) \cdot r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 - sin θ 1 sin θ 2) + i (sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2)] = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2) + i sin (θ 1 + θ 2)],

即

r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1) \cdot r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2) = r 1 r 2 [cos (θ 1 + θ 2) + i sin (θ 1 + θ 2)] .

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角之和。

据此，两个复数z1,z2相乘时，可以先画出分别与z1,z2对应的向量OP1−→−−−,OP2−→−−−，然后把向量OP1−→−−−按逆时针方向旋转一个角度θ2（如果θ<0，就要把OP1−→−−−按顺时针方向旋转一个角度|θ2|），在把它的模变为原来的r2倍，所得的向量OP−→−−，就表示积z1⋅z2（图10）。这就是复数乘法的几何意义。

复数-图10

用数学归纳法容易证明（读者自己证明），上面的结论可以推广到n个复苏相乘的情况，就是：

z 1 \cdot z 2 \cdot \dots \cdot z n = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1) \cdot r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2) \cdot \dots \cdot r n (cos θ n + i sin θ n) = r 1 r 2 \dots r n [cos (θ 1 + θ 2 + \dots + θ n) + i sin (θ 1 + θ 2 + \dots + θ n)] .

因此，如果

r 1 = r 2 = \dots = r n = r, θ 1 = θ 2 = \dots = θ n = θ

时，就有

[r (cos θ + i sin θ) n] = r n (cos n θ + i sin n θ) (n \in N) .

这就是说，复数的

n(n∈N)次幂的模等于这个复数的模的

n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的

n倍。这个定理叫做棣莫佛^[2]定理。

[2]棣莫佛（Abrabam de Moivre, 1667-1754年），法国数学家。

例1：计算2√(cosπ12+isinπ12)⋅3√(cosπ6+isinπ6)。

解：2√(cosπ12+isinπ12)⋅3√(cosπ6+isinπ6)=6√[cos(π12+π6)+isin(π12+π6)]=6√(cosπ4+isinπ4)=6√(2√2+2√2i)=3√+3√i。

例2：计算(3√−i)6。

解：因为3√−i=2(cos11π6+isin11π6)，所以(3√−i)6=[2(cos11π6+isin11π6)]6=26(cos11π+isin11π)=64(cosπ+isinπ)=64⋅(−1)=−64。

例3：如图11，向量OZ−→−−与复数−1+i对应，把OZ−→−−按逆时针方向旋转120∘，得到OZ‘−→−−。求与向量OZ′−→−−−对应的复数（用代数形式表示）。

复数-图11

解：所求的复数就是−1+i乘以一个复数z0的积，这个复数z0的模是1，辐角的主值是120∘。

所以所求的复数是(−1+i)⋅1(cos120∘+isin120∘)=(−1+i)(−12+3√2i)=1−3√2−1+3√2i

例4：如图12，已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数证明

∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = π 2 .

复数-图12

证明：如图建立坐标系（确定复平面），由于平行线的内错角相等，∠1,∠2,∠3分别等于复数1+i,2+i,3+i的辐角的主值，这样∠1+∠2+∠3就是积(1+i)(2+i)(3+i)的辐角，而

(1 + i) (2 + i) (3 + i) = 10 i,

其辐角的主值是

π2，并且

∠1,∠2,∠3都是锐角，于是

0 < ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 < 3 π 2,

所以

∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = π 2 .

3.2.2 除法

设z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)，且z2≠0。因为

r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2) \cdot r 1 r 2 [cos (θ 1 - θ 2) + i sin (θ 1 - θ 2)] = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1),

所以根据复数的除法的定义，有

r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 [cos (θ 1 - θ 2) + i sin (θ 1 - θ 2)]

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。

例5：计算4(cos4π3+isin4π3)÷2(cos5π6+isin5π6)。

解：4(cos4π3+isin4π3)÷2(cos5π6+isin5π6)=4(cos4π3+isin4π3)2(cos5π6+isin5π6)=2[cos(4π3−5π6)+isin(4π3−5π6)]=2[cosπ2+isinπ2]=2(0+i)=2i。

3.2.3 开方

设ρ(cosϕ+isinϕ)是复数r(cosθ+isinθ)的n(n∈N)次方根，那么

r (cos θ + i sin θ) = [ρ (cos ϕ + i sin ϕ)] n = ρ n (cos n ϕ + i sin n ϕ) .

因为相等的复数，它们的模相等，辐角可以相差2π的整数倍，所以

{ρ n = r, n ϕ = θ + 2 k π (k \in Z) .

由此可知，

ρ = r \sqrt n, ϕ = θ + 2 k π n,

因此

r(cosθ+isinθ)的

n次方根是

r \sqrt n (cos θ + 2 k π n + i sin θ + 2 k π n) .

当

k取

0,1,⋯,n−1各值时，就可以得到上式的

n个值。由于正弦、余弦函数的周期都是

2π，当

k取

n,n+1以及其他各个整数值时，又重复出现

k取

0,1,⋯,n−1时的结果。所以复数

r(cosθ+isinθ)的

n次方根^[3]是

r \sqrt n (cos θ + 2 k π n + i sin θ + 2 k π n) (k = 0, 1, \dots, n - 1) .

这就是说，复数的

n(n∈N)次方根是

n个复数，它们的模都等于这个复数的模的

n次算术根，它们的辐角分别等于这个复数的辐角与

2π的

0,1,⋯,n−1倍的和的

n分之一。

[3]采用这个符号时，一定要记住z√n表示n个复数。

例6：求1−i的立方根。

解：因为

1 - i = 2 \sqrt (cos 7 π 4 + i sin 7 π 4)

，所以

1−i的立方根是

2 \sqrt 6 (cos 7 π 4 + 2 k π 3 + i sin 7 π 4 + 2 k π 3) = 2 \sqrt 6 (cos 7 π + 8 k π 12 + i sin 7 π + 8 k π 12) (k = 0, 1, 2],

即

1−i的立方根是下面三个复数：

2 \sqrt 6 (cos 7 π 12 + i sin 7 π 12), 2 \sqrt 6 (cos 5 π 4 + i sin 5 π 4), 2 \sqrt 6 (cos 23 π 12 + i sin 23 π 12) .

例7：设a∈R+，求−a的平方根。

解：因为−a=a(cosπ+isinπ)，所以−a的平方根是

a \sqrt (cos π + 2 k π 2 + i sin π + 2 k π 2) (k = 0, 1),

即

−a的平方根是下面两个复数：

a \sqrt (cos π 2 + i sin π 2), a \sqrt (cos 3 π 2 + i sin 3 π 2),

或

a \sqrt i, - a \sqrt i .

从例7可以看到，a∈R+时，−a的平方根是±a√i。

我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，如果b2−4ac<0，那么它在实数集R中没有根。现在我们在复数集C中考察这种情况。经过变形，原方程可化为

x 2 + b a x = - c a,

所以

x 2 + 2 \cdot x \cdot b 2 a + (b 2 a) 2 = (b 2 a) 2 - c a,

进一步化简得

(x + b 2 a) 2 = b 2 - 4 a c ( 2 a ) 2,

即

(x + b 2 a) 2 = - [- ( b 2 - 4 a c ) ( 2 a ) 2] .

由于

−(b2−4ac)(2a)2∈R+，根据例7，我们得到

x + b 2 a = \pm ( b 2 - 4 a c ) - - - - - - - - \sqrt i 2 a,

所以方程

ax2+bx+c=0在复数集

C中有两个根

x = - b \pm - ( b 2 - 4 a c ) - - - - - - - - - - \sqrt i 2 a (b 2 - 4 a c < 0) .

显然，它们是一对共轭复数。

例8：在复数集C中解方程x2−4x+5=0。

解：因为b2−4ac=16−20=−4<0，所以x=4±2i2=2±i。

根据以前学过的一元二次方程的有关知识，我们知道，例8中方程左边的二次三项式x2−4x+5在复数集C中就可以通过求根的方法分解成两个一次因式的积，即

x 2 - 4 x + 5 = [x - (2 + i)] [x - (2 - i)] = (x - 2 - i) (x - 2 + i) .

形如anxn+a0=0（a0,an∈C，且an≠0）的方程叫做二项方程。任何一个二项方程都可以化成xn=b(b∈C)的形式，因此，都可以通过复数开方来求根。

例9：在复数集C中解方程x5=32。

解：原方程就是

x 5 = 32 (cos 0 + i sin 0) .

所以

x = 32 - - \sqrt 5 (cos 0 + 2 k π 5 + i sin 0 + 2 k π 5) = 2 [cos (k \cdot 2 π 5) + i sin (k \cdot 2 π 5)] (k = 0, 1, 2, 3, 4),

就是

x 1 = 2 (cos 0 + i sin 0) = 2, x 2 = 2 (cos 2 π 5 + i sin 2 π 5), x 3 = 2 (cos 4 π 5 + i sin 4 π 5), x 4 = 2 (cos 6 π 5 + i sin 6 π 5), x 5 = 2 (cos 8 π 5 + i sin 8 π 5) .

这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以

2为半径的圆上（圆13）。

复数-图13

一般地，方程xn=b(b∈C)的根的几何意义是复平面内的n个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以|b|−−√n为半径的圆上。

*四、复数的指数形式

在科学技术，特别实在电工和无线电计算中，为了方便起见，还采用复数的另一种表示——复数的指数形式。

我们把模为1，辐角为θ（以弧度为单位）的复数

cos θ + i sin θ

用记号

eiθ来表示，即

e i θ = cos θ + i sin θ .

^[4]

[4]这里的e=2.71828⋯，就是自然对数的底数。这个公式叫做欧拉（Leonhard Euler，1707-1783年，瑞士数学家）公式。在“复变函数论”中可以证明这个公式。

例如，

e i π 2 = cos π 1 + i sin π 1 = i, e i π 3 = cos π 3 + i sin π 3 = 1 2 + 3 \sqrt 2 i .

又如，

cos5π6+isin5π6可以写成

ei5π6，

2 \sqrt 2 + 2 \sqrt 2 i = cos π 4 + i sin π 4

可以写成

eiθ4。

引入记号eiθ=cosθ+isinθ之后，任何一个复数

z = r (cos θ + i sin θ)

就可以表示成

z = r e i θ

的形式。我们把这一表达式叫做复数的指数形式。

根据复数的指数形式的定义，我们有

e i θ 1 \cdot e i θ 2 = (cos θ 1 + i sin θ 1) (cos θ 2 + i sin θ 2) = cos (θ 1 + θ 2) + i sin (θ 1 + θ 2) = e i (θ 1 + θ 2),

即

e i θ 1 \cdot e i θ 2 = e i (θ 1 + θ 2) .

同样可证

(e i θ) n = e i n θ (n \in N),

e i θ 1 e i θ 2 = e i (θ 1 - θ 2) .

上述性质与我们过去学过的实数指数幂的性质一致，所以把复数从三角形式改写成指数形式后，可以运用实数集

R中的幂运算律（注意：乘方的指数限于自然数）来进行运算。这里我们仿照实数集

R中的说法，把

eiθ叫做以

e为底、

iθ为指数的幂。

对于开方运算，复数reiθ的n(n∈N)次方根是

r \sqrt n e i θ + 2 k π n (k = 0, 1, \dots, n - 1) .

例1：把复数z=2i表示成指数形式。

解：z=2i=2(cosπ1+isinπ2)=2eiπ2。

例2：把2√e−iπ4,5√ei2π3表示成三角形式及代数形式。

解：2√e−iπ4=2√[cos(−π4)+isinπ4]=1−i,5√ei2π3=5√[cos(−2π3)+isin2π3]=−5√2+15√2i。

例3：用eiθ与e−iθ表示cosθ与sinθ。

解：因为

e i θ = cos θ + i sin θ,

e - i θ = cos (- θ) + i sin (- θ) = cos θ - i sin θ,

因此

cos θ = e i θ + e - i θ 2;

sin θ = e i θ - e - i θ 2 i .

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