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通俗详细地讲解什么是P和NP问题

上篇博文谈及NP，有博友认为我文中没有解释NP的概念，是不妥的，这次对P和NP进行详细的讲解，使得非计算机专业的理工类也能看懂，计算机专业的当然就更能透彻地看懂了。

要计算或解决一个问题，该问题通常有一个大小规模，用n表示。例如，若分析计算一个二进制数，该数有多少位，这个位就是其大小规模。再比如，从n个数里面找出最大的那个数，这个n就是该问题的规模大小。怎么找？我们要比较n-1次才能得到结果，这个n-1就是所花的时间，也就是时间复杂度。再比如，将n个数按从大至小排序，n是其规模大小，若是我们按这样的方法：第一次从n个数里找最大，第二次从n-1个数里找最大，以此类推，需要的比较次数就是n(n-1)/2,称我们所用的方法为算法，称n(n-1)/2为该算法的时间复杂度。对于时间复杂度，当n足够大时，我们只注重最高次方的那一项，其他各项可以忽略，另外，其常数系数也不重要，所以，n(n-1)/2我们只重视n的平方这一项了，记为O(n的平方），这就是该算法对该问题的时间复杂度的专业表示。

所有形如a*n^k+b*n^(k-1)+c*n^(k-2)……都可记为O(n^k), n^k表示n的k次方，*为乘号，这样的复杂度称为多项式时间复杂度，若是时间复杂度形如k^n，k为大于1的常数，或n!，或更大的，就称为指数型时间复杂度。显然，当n足够大时，指数型时间比多项式要大得多的多。

所有能用多项式时间算法计算得到结果的问题，称为多项式问题，也就是P，所有绝对不可能用多项式时间求解的问题，称为指数型问题。

有这样一类问题，假使你得到了问题的解，我要验证你的解是否正确，我验证所花的时间是多项式，至于求解本身所花的时间是否是多项式我不管，可能有多项式算法，可能没有，也可能是不知道，这类问题称为NP问题。

NP概念的奥妙在于，它躲开了求解到底需要多少时间这样的问题，而仅仅只是强调验证需要多少时间，从而为P与NP这一千年难题的产生埋下了伏笔。显然，P肯定是NP，因为你既然能用多项式求解，就肯定能用多项式验证（难不成我再算一遍！），但NP是否是P谁也确定不了。另外，目前已经很明确的指数型问题也肯定不是NP。当然要理解这一点还有点难，看我下面的解释。

讲到目前为止，NP的概念还是抽象的，听者恐怕还没有达到透彻掌握的程度。要是我给学生讲课的话，对这样抽象难理解的概念，我会告诉学生用如下方式去透彻的掌握它（呵呵，但愿我不要是那种自己仅停留在背概念的水平，甚至连概念都没有理解透，却要厚脸皮地自吹自己“讲课水平高”的人了，我的逻辑非常简单，我自己曾经用这样的方法高效透彻地掌握了，我让学生按这样的方法去做，他们也能达到高效而透彻）：

1，找三个例子，一个为P，一个为NP但不知道是否为P，再一个为明显的指数型问题比如全排列、汉诺塔等，反复比较理解。
2，尽可能多的找出NP问题的特点，哪怕有重叠也没关系，针对每一个特点，结合例子去理解。NP最显著的特点有两个，一个是分步及每一步的并行性，二就是任何NP问题都可转化为是和否的问题，当然，最根本的还有验证多项式。

当然我也会详细的总结出特点，细细的准备相应的例子，但这里就没有必要花这个时间笔墨了。

许多人由于没有理解P和NP的实质，仅仅只是背了一下其关于确定性和非确定性图灵机、语言、空间等概念，又没有理解透，将概念进行无谓的倒腾，以为仅凭这些概念的文字表述所指的范畴，就能得出P不等于NP的结论，莫非这些人真的以为粑粑不要米做？

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