HDU2639 01背包 第K优决策

求第K优解

首先给我启发是 求第k优解，只需在原来01背包的问题上加上一维，表示第k优解，其实转态转移不变，还是第i个物品选与不选，该开始始终初始化不好。。。。。出现问题。

但我发现有位大刘避免了复杂的初始化，而是在求d【i】【j】中的k时，巧妙的把原来的转态合并。这不免是个好方法，没必要刚开始就十全十美，只需我们在过程中处理一下，同样可得到我们所需的结果。

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对于求次优解、第K优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。其基本思想是将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以01背包为例讲解一下。首先看01背包求最优解的状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。如果要求第K优解，那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为 v时，第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句，熟悉C语言的同学可能比较好理解，或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。 显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的，所以我们把它认为是一个有序队列。然后原方程就可以解释为：f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K]，f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]] [1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果的前K项储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(VNK)。

 

为什么这个方法正确呢？实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其 它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组，并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前K个最优值。那么， 对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。另外还要注意题目对于“第K优解”的定义，将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。

 

用个形象的比喻吧：如果我想知道学年最高分，那么，我只要知道每个班级的最高分，然后统计一遍就可以了。如果我想知道学年前十呢？我必须要知道每个班的前十名。大家在心里模拟一下，对，这就是本题核心的算法。两种决策，就可以看作这个学年只有两个班。

#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>#include<stdlib.h>#include<algorithm>int inf= 1<<30;int v[110];int w[110];int d[1100][33];int a[50];int b[50];int i,j,T,K,N,V,m1,m2,t;using namespace std;void kth_zero_one_back(){int kk,fir,t,sec;for(i=1;i<=N;i++){for(j=V;j>=v[i];j--){for(kk=1;kk<=K;kk++){a[kk]=d[j][kk];b[kk]=d[j-v[i]][kk]+w[i];}a[kk]=b[kk]=-1;fir=sec=t=1;while(t<=K&&(a[fir]!=-1||b[sec]!=-1)){if(a[fir] > b[sec]){d[j][t] = a[fir];fir++;}else {d[j][t] = b[sec];sec++;}if(d[j][t]!=d[j][t-1])t++;}}}//for(kk=1;kk<=K;kk++)printf("%d\n",d[V][K]);}int main(){scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d%d%d",&N,&V,&K);for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&w[i]);for(i=1;i<=N;i++)scanf("%d",&v[i]);memset(d,0,sizeof(d));kth_zero_one_back();////////////////////for(i=0;i<N;i++)//d[i][0][1]=0;//for(j=1;j<=V;j++)//{//if(j<v[i])//d[1][j][1]=0;//d[1][j][1]=w[i];//}//for(i=2;i<=N;i++)//{//for(j=V;j>=v[i];j--)//{//m1=m2=1;//for(k=1;k<=K;k++)//{//t=d[i-1][j][m1];//if(j>=v[i]&&d[i-1][j][m1]<=d[i-1][j-v[i]][m2]+w[i])//{//t=d[i-1][j-v[i]][m2]+w[i];//if(d[i-1][j][m1]==d[i-1][j-v[i]][m2]+w[i])//{//m2++;//m1++;//}//else //m2++;//}//else m1++;//d[i][j][k]=t;//}//}//for(j=0;j<v[i];j++)//d[i][j][1]=0;////}//int ans=d[N][V][K];//if(ans<0)//ans=0;//printf("%d\n",ans);}return 0;}