BZOJ1045

传送门：BZOJ1045

结论题。

设i顺时针传给下一个人的数量为xi，目标平均值值为ave
则目标就是让ai−xi+xi−1=ave的前提下最小化

∑i=1n|xi|

可以构造出
a1−x1+x2=ave
a2−x2+x3=ave
a1−x3+x4=ave
…..
an−xn+x1=ave

这个方程组有n个方程和n个变量，但显然，最后一个方程式无意义。
于是考虑:
a1−x1+x2=ave⟹x2=ave+x1−a1
a2−x2+x3=ave⟹x3=ave+x2−a2=2×ave−a1−a2+x1
a3−x3+x4=ave⟹x3=3×ave−a1−a2−a3+x1
…
an−xn+x1=ave，无意义

这只要自己计算一下就可以明白，记ci=(∑ij=1aj)−i×ave，于是有
x2=x1−c1
x3=x1−c2
……
∀i≥2,xi=x1−ci−1
于是最小化的目标函数就是

|x1|+∑i=1n−1|x1−ci|=|x1−0|+∑i=1n−1|x1−ci|

也就是说，给出数轴上的点(0,c1,c2,c3...cn−1)，求一个点y,令y到所有点的距离和最小
显然，点y就是所有点的中位数

完成推导后做法还是很优雅的。

代码上的小细节见下。

#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <algorithm>#include <iostream>#include <cmath>#include <cstring>using namespace std;int n;int a[1000005];int c[1000005];long long ave;void Solve(){    for(int i=2;i<=n;i++)        c[i]=c[i-1]+a[i]-ave;    sort(c+1,c+n+1);    long long ans=0;    int j=(1+n)/2;    for(int i=1;i<=n;i++)        ans+=abs(c[j]-c[i]);    cout<<ans;}void Readdata(){    freopen("loli.in","r",stdin);    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)        scanf("%d",&a[i]);    for(int i=1;i<=n;i++)        ave+=a[i];    ave/=n;}void Close(){    fclose(stdin);    fclose(stdout);}int main(){    Readdata();    Solve();    Close();    return 0;\}